Porquê “trabalho”? E porque é que força vezes distância?

“Trabalho = força × distância” é um princípio padrão da física que também ocorre em todos os livros de cálculo padrão na forma do integral . Infelizmente, os livros-texto padrão nunca lhe dizem porque é que o trabalho é força vezes distância. Stewart’s Calculus, por exemplo, tem uma secção inteira sobre “Trabalho” no capítulo sobre “Aplicações da Integração”. Dezenas de exercícios são empilhados onde nos é pedido para calcular o “trabalho” envolvido neste ou naquele cenário físico. Espera-se que liguemos os números em fórmulas e obtenhamos outros números como robôs obedientes, mas porquê? Qual é o objectivo de todos estes números? Porque haveria alguém de querer calcular o “trabalho” tão definido, e o que é que isso realmente nos diz? Não é dada qualquer justificação. Isto é simplesmente “a definição” de trabalho, e não se pode “provar uma definição”, pelo que o raciocínio parece ir por diante. Assim, o mero facto de alguma quantidade ser definida é tomado como motivação suficiente para o seu cálculo num monte de instâncias. Presumivelmente, o estudante é deixado a deduzir, este sentido técnico da palavra “trabalho” é suposto ter algum tipo de relação com o sentido diário da palavra, o que também parece vagamente aplicável nos exemplos, uma vez que normalmente envolvem mover mecanicamente as coisas de um lado para o outro. No entanto, por que razão deveria ser “força vezes distância” em vez de, digamos, “força vezes tempo” ou “força ao quadrado vezes distância” ou o que quer que não fique claro. Além disso, a unidade de “trabalho” aparece como Joules, nota-se, que noutros pontos do livro é tomada como uma unidade de energia. Então, aparentemente “trabalho” está relacionado com (ou será?) energia? Mas esta misteriosa ligação não é explicada. Como vemos, a estudante ficará com mais perguntas do que respostas, assim que tentar ir mesmo um pouco abaixo da superfície. A mensagem é clara: isto não é lugar para pensar; este livro trata de ligar números a fórmulas como um macaco de circo a fazer truques para uma banana.

Na matemática intelectual não toleramos este tipo de disparate. Se vamos falar de “trabalho”, não o vamos introduzir por decreto autoritário (“essa é a equação, agora vai ligar os números a ela!”). Em vez disso, vamos mostrar-lhe como pode chegar à noção de trabalho por uma linha natural de raciocínio, usando a sua própria intuição e compreensão física. O que se segue é um excerto do meu livro de cálculo mostrando como isto pode ser feito.

p>Um objecto de massa

a uma altura não muito grandeacima da superfície da terra tem uma energia potencial de. Isto significa que poderíamos, potencialmente, ter tanto trabalho para nós. Pode-se pensar, por exemplo, numa roda de água conduzida por uma queda de água: este dispositivo aproveita a energia potencial armazenada na água em virtude da sua altitude, e aproveita-a para algum outro fim. Pensando em termos de rodas de água, é fácil compreender porque é que a energia potencial é proporcional à massa e à altura. Pois se a altura for o dobro, a água pode passar por duas vezes mais rodas ao descer, pelo que se obtém o dobro do trabalho com ela. E se a massa for o dobro, pode dividi-la ao meio e passar cada parte através das rodas de água separadamente, o que torna claro que também neste caso se consegue o dobro do trabalho. Pelo mesmo argumento obtemos a relação geral trabalho = força × distância que pode ser tomada como a definição formal de trabalho, como acima.p>Energia potencial é energia em virtude da posição; energia cinética é energia em virtude da velocidade. A água pode conduzir uma roda d’água não só ao cair de uma certa altura (energia potencial), mas também ao avançar à pressa num riacho a uma certa velocidade (energia cinética). Vou agora provar-vos que tal como a energia potencial é medida por, assim a energia cinética é medida por . Primeiro quero deixar claro que a energia cinética é “trabalho armazenado”. Imagine-se a empurrar um vagão ao longo de uma via férrea. Quando se acaba de empurrar e soltar o vagão, todo o trabalho que se coloca nele é agora “armazenado” no vagão sob a forma de energia cinética. Podemos recuperá-lo, por exemplo, através do nosso método de protótipo de rodas de água, que poderíamos fazer girar o vagão à medida que este os atinge ao longo do seu percurso. A experiência mostra que é necessário o mesmo esforço para parar o vagão que para o fazer andar, pelo que é evidente que a quantidade de trabalho armazenada no vagão é a mesma que se coloca nele.

Quando se empurra o vagão para o fazer andar, está-se a aplicar uma certa força ao longo de uma certa distância. O produto dos dois é o trabalho que se faz, vimos acima. Isto, então, é uma medida da energia cinética, mas não é muito agradável. A energia cinética é claramente intrínseca ao vagão em movimento, por isso é estranho caracterizá-la em termos da acção do trabalhador que a pôs em movimento e por mais longo que tenha sido o percurso que utilizou. Deveríamos muito preferir expressá-la em termos da massa e velocidade do vagão. Mas isto é fácil de fazer, pois sabemos que força = massa × aceleração, distância = velocidade média × tempo. “Distância” aqui significa a duração da sua corrida antes de libertar o vagão, e “tempo” o tempo que demorou a completá-la. Digamos que empurra com a mesma força, para que a força, e portanto a aceleração, seja constante.

Exercício. Concluir daí que a energia cinética é .

As duas formas de energia que estudámos são claramente permutáveis: quando um objecto cai, “comercializa” energia potencial para cinética, e inversamente quando a sua velocidade é dirigida para cima. Por meio de algumas rampas podemos transformar uma queda de água num riacho e, pelo contrário, gostaríamos de saber qual é melhor para conduzir rodas de água. Mas acaba por ser tudo o mesmo. A economia da natureza é tal que a taxa de câmbio neste tipo de transacções é de um para um. A energia é conservada. Isto concorda com a experiência, mas também podemos prová-lo formalmente.

p>Exercicio. Provar, tomando o seu derivado de tempo, que a energia totalé constante para um objecto em queda livre.

Outra forma útil de estabelecer este tipo de resultado é provar que, se não se segurasse, poderia explorar-se a discrepância para construir uma máquina de movimento perpétuo que poderia criar energia a partir do nada, o que se sabe ser impossível ou, pelo menos, um ponto sobre o qual ficaríamos agradavelmente surpreendidos por nos provarmos errados.

Exercitar. Argumentar com tais fundamentos que é constante.