Em alguns contextos, tais como identificar um ponto sobre um círculo ou descrever a orientação de um objecto em duas dimensões relativamente a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo exacto de uma volta completa são efectivamente equivalentes. Noutros contextos, tais como a identificação de um ponto numa curva espiral ou a descrição da rotação cumulativa de um objecto em duas dimensões em relação a uma orientação de referência, ângulos que diferem por um múltiplo não nulo de uma volta completa não são equivalentes.
A fim de medir um ângulo θ, é traçado um arco circular centrado no vértice do ângulo, por exemplo com um par de bússolas. A razão do comprimento s do arco pelo raio r do círculo é a medida do ângulo em radianos.
A medida do ângulo noutra unidade angular é então obtida multiplicando a sua medida em radianos pelo factor de escala k/2π, onde k é a medida de uma volta completa na unidade escolhida (por exemplo 360 para graus ou 400 para gradianos):
θ = k s 2 π r . displaystyle {\i}theta =k{\i r}{\i r}.{\i r}
O valor de θ assim definido é independente do tamanho do círculo: se o comprimento do raio for alterado, então o comprimento do arco muda na mesma proporção, pelo que a relação s/r é inalterada. (Comprovação. A fórmula acima pode ser reescrita como k = θr/s. Uma volta, para a qual θ = n unidades, corresponde a um arco igual em comprimento à circunferência do círculo, que é 2πr, portanto s = 2πr. A substituição de n por θ e 2πr por s na fórmula, resulta em k = nr/2πr = n/2π).
Postulado de adição angularEdit
O postulado de adição angular afirma que se B estiver no interior do ângulo AOC, então
m ∠ A O C = m ∠ A O B + m ∠ B O C {\displaystyle m\angle AOC=m\angle AOB+m\angle BOC}
A medida do ângulo AOC é a soma da medida do ângulo AOB e a medida do ângulo BOC. Neste postulado não importa em que unidade o ângulo é medido desde que cada ângulo seja medido na mesma unidade.
UnitsEdit
Unidades utilizadas para representar ângulos são listadas abaixo em ordem decrescente de grandeza. Destas unidades, o grau e o radiano são de longe as mais frequentemente utilizadas. Os ângulos expressos em radianos são sem dimensão para a análise dimensional.
A maior parte das unidades de medida angular são definidas de modo a que uma volta (ou seja, um círculo completo) seja igual a n unidades, para algum número inteiro n. As duas excepções são o radiano e a parte de diâmetro.
Volta (n = 1) A volta, também ciclo, círculo completo, volta e rotação, é um movimento circular completo ou medida (para voltar ao mesmo ponto) com círculo ou elipse. Uma volta é abreviada τ, cyc, rev, ou apodrecer dependendo da aplicação, mas na sigla rpm (revoluções por minuto), apenas r é utilizado. Uma volta de n unidades é obtida através da definição de k = 1/2π na fórmula acima. A equivalência de 1 volta é de 360°, 2π rad, 400 grad, e 4 ângulos rectos. O símbolo τ também pode ser utilizado como constante matemática para representar 2π radianos. Usado desta forma (k = τ/2π) permite que os radianos sejam expressos como uma fracção de uma volta. Por exemplo, metade de uma volta é τ/2 = π. Quadrante (n = 4) O quadrante é 1/4 de uma volta, ou seja, um ângulo recto. É a unidade utilizada nos Elementos de Euclides. 1 quad. = 90° = π/2 rad = 1/4 de volta = 100 graus. Em alemão o símbolo ∟ foi utilizado para denotar um quadrante. Sextante (n = 6) O sextante (ângulo do triângulo equilátero) é 1/6 de uma volta. Foi a unidade utilizada pelos babilónios, e é especialmente fácil de construir com régua e bússola. O grau, minuto de arco e segundo de arco são subunidades sexagesimais da unidade da Babilónia. 1 unidade da Babilónia = 60° = π/3 rad ≈ 1.047197551 rad.
Radiano (n = 2π = 6.283 . . . . ) O radiano é o ângulo subtendido por um arco de circunferência que tem o mesmo comprimento que o raio do círculo. O caso do radiano para a fórmula dada anteriormente, um radiano de n = 2π unidades é obtido através da definição k = 2π/2π = 1. Uma volta é 2π radianos, e um radiano é de 180/π graus, ou cerca de 57.2958 graus. O radiano é abreviado rad, embora este símbolo seja frequentemente omitido em textos matemáticos, onde os radianos são assumidos, salvo especificação em contrário. Quando são utilizados os radianos, os ângulos são considerados sem dimensão. O radiano é utilizado em praticamente todo o trabalho matemático para além da simples geometria prática, devido, por exemplo, às propriedades agradáveis e “naturais” que as funções trigonométricas exibem quando os seus argumentos estão em radianos. O radiano é a unidade (derivada) de medida angular no sistema SI. Posição do relógio (n = 12) Uma posição do relógio é a direcção relativa de um objecto descrito usando a analogia de um relógio de 12 horas. Imagina-se um mostrador de relógio deitado na vertical ou plano em frente de si próprio, e identificam-se as marcações de doze horas com as direcções em que apontam. Ângulo horário (n = 24) O ângulo horário astronómico é 1/24 de uma volta. Como este sistema é passível de medir os objectos que rodam uma vez por dia (tal como a posição relativa das estrelas), as subunidades sexagesimais são chamadas minuto do tempo e segundo do tempo. Estas são distintas de, e 15 vezes maiores do que, minutos e segundos de arco. 1 hora = 15° = π/12 rad = 1/6 quad. = 1/24 volta = 16+2/3 grad. (Bússola) ponto ou vento (n = 32) O ponto, utilizado na navegação, é 1/32 de uma volta. 1 ponto = 1/8 de um ângulo recto = 11,25° = 12,5 graus. Cada ponto é subdividido em quatro quartos de volta de modo a que 1 volta seja igual a 128 quartos de volta. Hexacontade (n = 60) A hexacontade é uma unidade de 6° que Eratóstenes utilizou, de modo a que uma volta inteira fosse dividida em 60 unidades. Pechus (n = 144-180) O pechus era uma unidade babilónica igual a cerca de 2° ou 2+1/2°. Grau binário (n = 256) O grau binário, também conhecido como radiano binário (ou brad), é 1/256 de uma volta. O grau binário é utilizado em computação para que um ângulo possa ser eficientemente representado num único byte (embora com uma precisão limitada). Outras medidas de ângulo utilizadas em computação podem basear-se na divisão de uma volta inteira em 2n partes iguais para outros valores de n. Grau (n = 360) O grau, denotado por um pequeno círculo superescrito (°), é 1/360 de uma volta, pelo que uma volta é 360°. O caso dos graus para a fórmula dada anteriormente, um grau de n = 360° unidades é obtido através da definição de k = 360°/2π. Uma vantagem desta antiga subunidade sexagesimal é que muitos ângulos comuns em geometria simples são medidos como um número inteiro de graus. Fracções de um grau podem ser escritas em notação decimal normal (por exemplo 3,5° para três graus e meio), mas as subunidades “minuto” e “segundo” sexagesimais do sistema “grau-minuto-segundo” estão também em uso, especialmente para coordenadas geográficas e em astronomia e balística. Parte do diâmetro (n = 376,99 . . . ) A parte do diâmetro (ocasionalmente utilizada em matemática islâmica) é de 1/60 radianos. Uma “parte de diâmetro” é aproximadamente 0,95493°. Há cerca de 376,991 partes de diâmetro por volta. Grad (n = 400) O gradiente, também chamado gradian, ou gon, é de 1/400 de volta, pelo que um ângulo recto é de 100 grads. É uma subunidade decimal do quadrante. Um quilómetro foi historicamente definido como um centi-grau de arco ao longo de um grande círculo da Terra, pelo que o quilómetro é o análogo decimal da milha náutica sexagesimal. O gradiente é utilizado principalmente na triangulação. Miliradiano O miliradiano (mil ou mrad) é definido como um milésimo de um radiano, o que significa que uma rotação de uma volta consiste em 2000π mil (ou aproximadamente 6283.185… mil), e quase todos os miradianos de mira para armas de fogo são calibrados de acordo com esta definição. Além disso, há três outras definições derivadas utilizadas para artilharia e navegação que são aproximadamente iguais a um miliradiano. Sob estas três outras definições, uma volta compensa exactamente 6000, 6300, ou 6400 mils, o que equivale a um intervalo de 0,05625 a 0,06 graus (3,375 a 3,6 minutos). Em comparação, o verdadeiro miliradiano é aproximadamente 0,05729578… graus (3,43775… minutos). Um “milhar da OTAN” é definido como 1/6400 de um círculo. Tal como com o verdadeiro miliradiano, cada uma das outras definições explora a propriedade útil das subtensões do miliradiano, ou seja, que o valor de um miliradiano é aproximadamente igual ao ângulo subtendido por um metro de largura, visto a 1 km de distância (2π/6400 = 0,0009817… ≈ 1/1000). Minuto de arco (n = 21.600) O minuto de arco (ou MOA, minuto de arco, ou apenas minuto) é 1/60 de um grau = 1/21.600 volta. É denotado por um único prime ( ′ ). Por exemplo, 3° 30′ é igual a 3 × 60 + 30 = 210 minutos ou 3 + 30/60 = 3,5 graus. Um formato misto com fracções decimais também é por vezes utilizado, por exemplo, 3° 5.72′ = 3 + 5,72/60 graus. Uma milha náutica foi historicamente definida como um minuto de arco ao longo de um grande círculo da Terra. Segundo de arco (n = 1.296.000) O segundo de arco (ou arco de segundo, ou apenas segundo) é 1/60 de um minuto de arco e 1/3600 de um grau. É denotado por um duplo prime ( ″ ). Por exemplo, 3° 7′ 30″ é igual a 3 + 7/60 + 30/3600 graus, ou 3,125 graus. Milliarcsecond (n = 1.296.000.000) mas Microarcsecond (n = 1.296.000.000.000) µas
Ângulos positivos e negativosEditar
Embora a definição da medição de um ângulo não suporte o conceito de um ângulo negativo, é frequentemente útil impor uma convenção que permita que valores angulares positivos e negativos representem orientações e/ou rotações em direcções opostas em relação a alguma referência.
Num sistema de coordenadas cartesianas bidimensionais, um ângulo é tipicamente definido pelos seus dois lados, com o seu vértice na origem. O lado inicial está no eixo positivo x, enquanto o outro lado ou lado terminal é definido pela medida do lado inicial em radianos, graus, ou voltas. Com ângulos positivos representando rotações em direcção ao eixo y positivo e ângulos negativos representando rotações em direcção ao eixo y negativo. Quando as coordenadas cartesianas são representadas pela posição padrão, definida pelo eixo x para a direita e o eixo y para cima, as rotações positivas são anti-horárias e as negativas são no sentido dos ponteiros do relógio.
Em muitos contextos, um ângulo de -θ é efectivamente equivalente a um ângulo de “uma volta completa menos θ”. Por exemplo, uma orientação representada como -45° é efectivamente equivalente a uma orientação representada como 360° – 45° ou 315°. Embora a posição final seja a mesma, uma rotação física (movimento) de -45° não é o mesmo que uma rotação de 315° (por exemplo, a rotação de uma pessoa que segura uma vassoura apoiada num chão poeirento deixaria traços visualmente diferentes de regiões varridas no chão).
Na geometria tridimensional, “sentido horário” e “sentido anti-horário” não têm significado absoluto, pelo que a direcção dos ângulos positivo e negativo deve ser definida em relação a alguma referência, que é tipicamente um vector que passa pelo vértice do ângulo e perpendicular ao plano em que se encontram os raios do ângulo.
Na navegação, os rolamentos ou azimute são medidos em relação ao norte. Por convenção, visto de cima, os ângulos de rolamento são positivos no sentido dos ponteiros do relógio, pelo que um rolamento de 45° corresponde a uma orientação nordeste. Os rolamentos negativos não são utilizados na navegação, pelo que uma orientação noroeste corresponde a um rolamento de 315°.
Formas alternativas de medir o tamanho de um ânguloEditar
Existem várias alternativas para medir o tamanho de um ângulo pelo ângulo de rotação. Um gradiente é frequentemente expresso como uma percentagem. Para valores muito pequenos (menos de 5%), o grau de inclinação é aproximadamente a medida do ângulo em radianos.
Na geometria racional, a dispersão entre duas linhas é definida como o quadrado do seno do ângulo entre as linhas. Como o seno de um ângulo e o seno do seu ângulo suplementar são os mesmos, qualquer ângulo de rotação que mapeia uma das linhas para a outra leva ao mesmo valor para a dispersão entre as linhas.
Aproximações astronómicasEditar
Astrónomos medem a separação angular dos objectos em graus a partir do seu ponto de observação.
- 0,5° é aproximadamente a largura do sol ou da lua.
- 1° é aproximadamente a largura de um dedo pequeno ao comprimento do braço.
- 10° é aproximadamente a largura de um punho fechado ao comprimento do braço.
- 20° é aproximadamente a largura de um dedo pequeno ao comprimento do braço.
Estas medidas dependem claramente do sujeito individual, e as acima referidas devem ser tratadas como regra aproximada apenas.