1. Se puede trazar un segmento de recta que una dos puntos cualesquiera.
2. Cualquier segmento de recta puede prolongarse indefinidamente en línea recta.
3. Dado cualquier segmento de recta, se puede dibujar una circunferencia que tenga el segmento como radio y un extremo como centro.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si se trazan dos rectas que se cruzan con una tercera de tal manera que la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas inevitablemente deben cruzarse en ese lado si se extienden lo suficiente. Este postulado equivale a lo que se conoce como el postulado de las paralelas.
El quinto postulado de Euclides no se puede demostrar como un teorema, aunque esto fue intentado por muchas personas. El propio Euclides utilizó sólo los cuatro primeros postulados («geometría absoluta») para las primeras 28 proposiciones de los Elementos, pero se vio obligado a invocar el postulado paralelo en la 29ª. En 1823, Janos Bolyai y Nicolai Lobachevsky se dieron cuenta por separado de que podían crearse «geometrías no euclidianas» totalmente autoconsistentes en las que no se cumplía el postulado del paralelo. (Gauss también había descubierto pero suprimido la existencia de geometrías no euclidianas.)