«Trabajo = fuerza × distancia» es un principio estándar de la física que también aparece en todos los libros de texto de cálculo estándar en forma de la integral 
. Desafortunadamente, los libros de texto estándar nunca te dicen por qué el trabajo es fuerza por distancia. El Cálculo de Stewart, por ejemplo, tiene una sección entera sobre «Trabajo» en el capítulo sobre «Aplicaciones de la integración». Se apilan docenas de ejercicios en los que se nos pide que calculemos el «trabajo» implicado en tal o cual escenario físico. Se espera que introduzcamos obedientemente números en las fórmulas y obtengamos otros números como robots obedientes, pero ¿por qué? ¿Qué sentido tienen todos esos números? ¿Por qué querría alguien calcular el «trabajo» así definido, y qué nos dice realmente? No se da ninguna justificación. Se trata simplemente de «la definición» de trabajo, y no se puede «demostrar una definición», según parece el razonamiento. Así que el mero hecho de que se defina una cantidad se toma como motivación suficiente para calcularla en un montón de casos. Es de suponer que, según deduce el estudiante, este sentido técnico de la palabra «trabajo» debe tener algún tipo de relación con el sentido cotidiano de la palabra, que también parece vagamente aplicable en los ejemplos, ya que suelen implicar el movimiento mecánico de cosas. Sin embargo, no se aclara por qué debería ser «fuerza por distancia» en lugar de, por ejemplo, «fuerza por tiempo» o «fuerza al cuadrado por distancia» o lo que sea. Además, la unidad de «trabajo» es el julio, que en otras partes del libro se considera una unidad de energía. Así que, aparentemente, el «trabajo» está relacionado con (¿o es?) la energía. Pero esta misteriosa conexión no se explica. Como vemos, el estudiante se quedará con más preguntas que respuestas en cuanto intente adentrarse aunque sea un poco en la superficie. El mensaje es claro: este no es lugar para pensar; este libro consiste en enchufar números en fórmulas como un mono de circo haciendo trucos por un plátano.
En la matemática intelectual no soportamos este tipo de tonterías. Si vamos a hablar de «trabajo» no vamos a introducirlo por decreto autoritario («¡ésta es la ecuación, ahora vete a enchufar números en ella!»). En su lugar, vamos a mostrarle cómo puede llegar usted mismo a la noción de trabajo mediante una línea natural de razonamiento utilizando su propia intuición y comprensión física. El siguiente es un extracto de mi libro de texto de cálculo que muestra cómo se puede hacer.
Un objeto de masa 
a una altura no muy grande 
sobre la superficie de la tierra tiene una energía potencial de 
. Esto significa que podríamos, potencialmente, hacer que hiciera tanto trabajo por nosotros. Podemos pensar, por ejemplo, en una rueda hidráulica impulsada por una caída de agua: este dispositivo aprovecha la energía potencial almacenada en el agua en virtud de su altitud, y la aprovecha para algún otro fin. Pensando en las ruedas hidráulicas, es fácil entender por qué la energía potencial es proporcional a la masa y a la altura. Si la altura es doble, el agua puede pasar por el doble de ruedas en su descenso, de modo que se obtiene el doble de trabajo. Y si la masa es doble, se puede dividir por la mitad y hacer pasar cada parte por las ruedas de agua por separado, con lo que se obtiene el doble de trabajo también en este caso. Por el mismo argumento obtenemos la relación general trabajo = fuerza × distancia, que puede tomarse como la definición formal de trabajo, como la anterior.
La energía potencial es la energía en virtud de la posición; la energía cinética es la energía en virtud de la velocidad. El agua puede impulsar una rueda hidráulica no sólo cayendo desde cierta altura (energía potencial), sino también precipitándose en una corriente a cierta velocidad (energía cinética). Ahora voy a demostrarte que, al igual que la energía potencial se mide por , la energía cinética se mide por 
. Primero quiero dejar claro que la energía cinética es «trabajo almacenado». Imagínate que empujas un vagón por una vía férrea. Cuando terminas de empujar y dejas que el vagón se vaya, todo el trabajo que pusiste en él está ahora «almacenado» en el vagón en forma de energía cinética. Podemos volver a sacarla, por ejemplo, mediante nuestro método prototipo de ruedas de agua, que podríamos hacer girar al vagón a medida que las golpea a lo largo de su recorrido. La experiencia demuestra que se necesita el mismo esfuerzo para detener la carreta que para ponerla en movimiento, por lo que está claro que la cantidad de trabajo almacenada en la carreta es la misma que se pone en ella.
Cuando empujas la carreta para ponerla en movimiento estás aplicando una determinada fuerza a través de una determinada distancia. El producto de ambas es el trabajo que realizas, ya lo vimos anteriormente. Esto, por tanto, es una medida de la energía cinética, pero no una muy bonita. La energía cinética es claramente intrínseca al vagón en movimiento, por lo que es incómodo caracterizarla en términos de la acción del trabajador que lo puso en movimiento y de la longitud de la carrera que utilizó. Es preferible expresarlo en función de la masa y la velocidad del vagón. Pero esto es fácil de hacer, ya que sabemos que la fuerza = masa × aceleración, la distancia = velocidad media × tiempo. «Distancia» significa aquí la longitud de tu carrera antes de soltar el vagón, y «tiempo» el tiempo que has tardado en completarla. Digamos que empujas con la misma fuerza durante todo el recorrido, de modo que la fuerza, y por tanto la aceleración, es constante.
Ejercicio. Concluye a partir de esto que la energía cinética es .
Las dos formas de energía que hemos estudiado son claramente intercambiables: cuando un objeto cae «cambia» energía potencial por cinética, y a la inversa cuando su velocidad se dirige hacia arriba. Mediante unas rampas podríamos convertir una caída de agua en una corriente y a la inversa, por lo que nos gustaría saber cuál es mejor para impulsar ruedas hidráulicas. Pero resulta que todo es lo mismo. La economía de la naturaleza es tal que el tipo de cambio en este tipo de transacciones es uno a uno. La energía se conserva. Esto concuerda con la experiencia pero también podemos demostrarlo formalmente.
Ejercicio. Demostrar, tomando su derivada temporal, que la energía total 
es constante para un objeto que cae libremente.
Otra forma útil de establecer este tipo de resultado es demostrar que si no se mantuviera se podría aprovechar la discrepancia para construir una máquina de movimiento perpetuo que pudiera crear energía de la nada, lo cual se sabe que es imposible o, al menos, un punto en el que nos sorprendería muy gratamente estar equivocados.
Ejercicio. Argumentar sobre tales bases que es constante.