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Relazioni tra esponenziali e logaritmi

Le funzioni logaritmiche logb x e le funzioni esponenzialibx sono inverse tra loro, quindi

y = logb x è equivalente a x = by
dove b è la base comune dell’esponenziale e del logaritmo.
L’equivalenza di cui sopra aiuta a risolvere le funzioni logaritmiche ed esponenziali e richiede una comprensione profonda. Esempi, di come la relazione di cui sopra tra il logaritmo e l’esponenziale può essere usata per trasformare espressioni, sono presentati qui sotto.

Esempio 1

Cambia ogni espressione logaritmica in una espressione esponenziale.
1. log3 27 = 3
2. log36 6 = 1 / 2
3. log2 (1 / 8) = -3
4. log8 2 = 1 / 3

Soluzione dell’esempio 1:
1. La forma logaritmica log3 27 = 3 è equivalente alla forma esponenziale

2. La forma logaritmica log36 6 = 1 / 2 è equivalente alla forma esponenziale
3. log2 (1 / 8) = -3 in forma esponenziale è dato da

4. log8 2 = 1 / 3 in forma esponenziale è dato da

Esempio 2

Cambia ogni espressione esponenziale in espressione logaritmica.
1. 34 = 81
2. 41/2 = 2
3. 3-3 = 1 / 27
4. 103 = 1000

Soluzione dell’esempio 2:
1. La forma esponenziale 34 = 81 è equivalente alla forma logaritmica

4 = log3 81
2. La forma esponenziale 41/2 = 2 è equivalente alla forma logaritmica1 / 2 = log4 2
3. 3-3 = 1 / 27 in forma logaritmica è dato da
-3 = log3 (1/ 27)
4. 103 = 1000 in forma logaritmica è dato da
3 = log10 1000

Esempio 3

Risolvere per x le seguenti equazioni.
1. log3 x = 5
2. log2 (x – 3) = 2
3. 2 log3 (- x + 1) = 6

Soluzione dell’esempio 3:
1. Per risolvere l’equazione log3 x = 5, riscriverla in forma esponenziale

x = 35
2. Riscrivere l’equazione log2 (x – 3) = 2 in forma esponenziale