El tamaño de un ángulo geométrico se suele caracterizar por la magnitud de la menor rotación que mapea uno de los rayos en el otro. Los ángulos que tienen el mismo tamaño se dice que son iguales o congruentes o de igual medida.
En algunos contextos, como la identificación de un punto en un círculo o la descripción de la orientación de un objeto en dos dimensiones respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como la identificación de un punto en una curva en espiral o la descripción de la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo no nulo de una vuelta completa no son equivalentes.
La medida del ángulo en otra unidad angular se obtiene entonces multiplicando su medida en radianes por el factor de escala k/2π, donde k es la medida de una vuelta completa en la unidad elegida (por ejemplo 360 para los grados o 400 para los gradiantes):
θ = k s 2 π r . {\displaystyle \theta =k{\frac {s}{2\pi r}}.}
El valor de θ así definido es independiente del tamaño de la circunferencia: si se cambia la longitud del radio entonces la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s/r no se altera. (Demostración. La fórmula anterior puede reescribirse como k = θr/s. Una vuelta, para la que θ = n unidades, corresponde a un arco de longitud igual a la circunferencia del círculo, que es 2πr, por lo que s = 2πr. Sustituyendo n por θ y 2πr por s en la fórmula, resulta k = nr/2πr = n/2π).
Postulado de adición de ángulosEditar
El postulado de adición de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces
m ∠ A O C = m ∠ A O B + m ∠ B O C {\displaystyle m\angle AOC=mangle AOB+m\angle BOC}.
La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC. En este postulado no importa en qué unidad se mida el ángulo siempre que cada ángulo se mida en la misma unidad.
UnidadesEditar
Las unidades utilizadas para representar ángulos se enumeran a continuación en orden de magnitud descendente. De estas unidades, el grado y el radián son, con mucho, las más utilizadas. Los ángulos expresados en radianes son adimensionales para el análisis dimensional.
La mayoría de las unidades de medida angular se definen de tal manera que una vuelta (es decir, un círculo completo) es igual a n unidades, para algún número entero n. Las dos excepciones son el radián y la parte del diámetro.
Vuelta (n = 1) La vuelta, también ciclo, círculo completo, revolución y rotación, es movimiento circular completo o medida (como volver al mismo punto) con círculo o elipse. Una vuelta se abrevia τ, cyc, rev, o rot según la aplicación, pero en el acrónimo rpm (revoluciones por minuto), se utiliza simplemente r. Una vuelta de n unidades se obtiene estableciendo k = 1/2π en la fórmula anterior. La equivalencia de 1 vuelta es 360°, 2π rad, 400 grad, y 4 ángulos rectos. El símbolo τ también puede utilizarse como constante matemática para representar 2π radianes. Utilizado de este modo (k = τ/2π) permite expresar los radianes como una fracción de vuelta. Por ejemplo, media vuelta es τ/2 = π. Cuadrante (n = 4) El cuadrante es 1/4 de vuelta, es decir, un ángulo recto. Es la unidad utilizada en los Elementos de Euclides. 1 cuadrante = 90° = π/2 rad = 1/4 de vuelta = 100 grad. En alemán se ha utilizado el símbolo ∟ para denotar un cuadrante. Sextante (n = 6) El sextante (ángulo del triángulo equilátero) es 1/6 de vuelta. Era la unidad utilizada por los babilonios, y es especialmente fácil de construir con regla y compás. El grado, el minuto de arco y el segundo de arco son subunidades sexagesimales de la unidad babilónica. 1 unidad babilónica = 60° = π/3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Radián (n = 2π = 6,283 . . . ) El radián es el ángulo subtendido por un arco de círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El caso del radián para la fórmula dada anteriormente, un radián de n = 2π unidades se obtiene fijando k = 2π/2π = 1. Una vuelta son 2π radianes, y un radián son 180/π grados, o sea, unos 57,2958 grados. El radián se abrevia rad, aunque este símbolo suele omitirse en los textos matemáticos, en los que se asumen los radianes a menos que se especifique lo contrario. Cuando se utilizan los radianes, los ángulos se consideran adimensionales. El radián se utiliza en prácticamente todos los trabajos matemáticos que van más allá de la simple geometría práctica, debido, por ejemplo, a las propiedades agradables y «naturales» que presentan las funciones trigonométricas cuando sus argumentos están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medida angular en el sistema SI. Posición del reloj (n = 12) La posición del reloj es la dirección relativa de un objeto descrita mediante la analogía de un reloj de 12 horas. Uno se imagina una esfera de reloj en posición vertical o plana frente a uno mismo, e identifica las marcas de las doce horas con las direcciones a las que apuntan. Ángulo horario (n = 24) El ángulo horario astronómico es 1/24 de vuelta. Como este sistema se presta a la medición de objetos que tienen un ciclo diario (como la posición relativa de las estrellas), las subunidades sexagesimales se denominan minuto de tiempo y segundo de tiempo. Son distintas y 15 veces mayores que los minutos y segundos de arco. 1 hora = 15° = π/12 rad = 1/6 cuadrante = 1/24 vuelta = 16+2/3 grad. (Brújula) punto o viento (n = 32) El punto, utilizado en la navegación, es 1/32 de vuelta. 1 punto = 1/8 de ángulo recto = 11,25° = 12,5 grad. Cada punto se subdivide en cuatro cuartos de punto, de modo que 1 vuelta equivale a 128 cuartos de punto. Hexacontada (n = 60) La hexacontada es una unidad de 6° que utilizaba Eratóstenes, de modo que una vuelta entera se dividía en 60 unidades. Pechus (n = 144-180) El pechus era una unidad babilónica que equivalía a unos 2° o 2+1/2°. Grado binario (n = 256) El grado binario, también conocido como radián binario (o brad), es 1/256 de una vuelta. El grado binario se utiliza en computación para poder representar eficazmente un ángulo en un solo byte (aunque con una precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizadas en informática pueden basarse en la división de una vuelta entera en 2n partes iguales para otros valores de n. Grado (n = 360) El grado, denotado por un pequeño círculo superíndice (°), es 1/360 de una vuelta, por lo que una vuelta es 360°. El caso de los grados para la fórmula dada anteriormente, un grado de n = 360° unidades se obtiene estableciendo k = 360°/2π. Una ventaja de esta antigua subunidad sexagesimal es que muchos ángulos comunes en la geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de grado pueden escribirse en notación decimal normal (por ejemplo, 3,5° para tres grados y medio), pero las subunidades sexagesimales «minuto» y «segundo» del sistema «grado-minuto-segundo» también se utilizan, especialmente para las coordenadas geográficas y en astronomía y balística. Parte de diámetro (n = 376,99 . . . ) La parte de diámetro (utilizada ocasionalmente en las matemáticas islámicas) es 1/60 de radián. Una «parte de diámetro» es aproximadamente 0,95493°. Hay aproximadamente 376,991 partes de diámetro por vuelta. Grad (n = 400) El grad, también llamado grado, gradian, o gon, es 1/400 de una vuelta, por lo que un ángulo recto es 100 grads. Es una subunidad decimal del cuadrante. Un kilómetro se definía históricamente como un centigrado de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra, por lo que el kilómetro es el análogo decimal de la milla náutica sexagesimal. El grad se utiliza sobre todo en la triangulación. Milirradio El milirradio (mil o mrad) se define como la milésima parte de un radián, lo que significa que una rotación de una vuelta consta de 2000π mil (o aproximadamente 6283,185… mil), y casi todas las miras de las armas de fuego están calibradas según esta definición. Además, existen otras tres definiciones derivadas utilizadas para la artillería y la navegación que son aproximadamente iguales a un milirradián. Según estas otras tres definiciones, una vuelta equivale exactamente a 6000, 6300 o 6400 mils, lo que equivale a abarcar el rango de 0,05625 a 0,06 grados (3,375 a 3,6 minutos). En comparación, el milirradián verdadero es aproximadamente 0,05729578… grados (3,43775… minutos). Un «mil de la OTAN» se define como 1/6400 de un círculo. Al igual que en el caso del milirradián verdadero, cada una de las otras definiciones aprovecha la práctica propiedad de subtensiones del mil, es decir, que el valor de un milirradián equivale aproximadamente al ángulo subtendido por una anchura de 1 metro visto desde 1 km de distancia (2π/6400 = 0,0009817… ≈ 1/1000). Minuto de arco (n = 21.600) El minuto de arco (o MOA, arcominuto o simplemente minuto) es 1/60 de un grado = 1/21.600 de vuelta. Se denota con un solo primo ( ′ ). Por ejemplo, 3° 30′ es igual a 3 × 60 + 30 = 210 minutos o 3 + 30/60 = 3,5 grados. A veces también se utiliza un formato mixto con fracciones decimales, por ejemplo, 3° 5,72′ = 3 + 5,72/60 grados. Una milla náutica se definía históricamente como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra. Segundo de arco (n = 1.296.000) El segundo de arco (o arcosegundo, o simplemente segundo) es 1/60 de un minuto de arco y 1/3600 de un grado. Se denota con un doble primo ( ″ ). Por ejemplo, 3° 7′ 30″ es igual a 3 + 7/60 + 30/3600 grados, o 3,125 grados. Miliarcosegundo (n = 1.296.000.000) mas Microarcosegundo (n = 1.296.000.000) µas
Ángulos positivos y negativosEditar
Aunque la definición de la medida de un ángulo no admite el concepto de ángulo negativo, con frecuencia es útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas respecto a alguna referencia.
En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo, mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o vueltas. Los ángulos positivos representan rotaciones hacia el eje y positivo y los ángulos negativos representan rotaciones hacia el eje y negativo. Cuando las coordenadas cartesianas se representan por la posición estándar, definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido contrario a las agujas del reloj y las negativas en sentido de las agujas del reloj.
En muchos contextos, un ángulo de -θ equivale efectivamente a un ángulo de «una vuelta completa menos θ». Por ejemplo, una orientación representada como -45° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360° – 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de -45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba apoyada en un suelo polvoriento dejaría huellas visualmente diferentes de regiones barridas en el suelo).
En la geometría tridimensional, «en el sentido de las agujas del reloj» y «en sentido contrario a las agujas del reloj» no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que suele ser un vector que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.
En la navegación, los rumbos o el acimut se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.
Modo alternativo de medir el tamaño de un ánguloEditar
Hay varias alternativas a la medición del tamaño de un ángulo por el ángulo de giro.El grado de una pendiente, o gradiente es igual a la tangente del ángulo, o a veces (raramente) el seno. Un gradiente se expresa a menudo en forma de porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), el grado de una pendiente es aproximadamente la medida del ángulo en radianes.
En la geometría racional la dispersión entre dos líneas se define como el cuadrado del seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de giro que mapee una de las rectas en la otra conduce al mismo valor para la dispersión entre las rectas.
Aproximaciones astronómicasEditar
Los astrónomos miden la separación angular de los objetos en grados desde su punto de observación.
- 0,5° es aproximadamente la anchura del sol o la luna.
- 1° es aproximadamente la anchura de un dedo meñique a la altura del brazo.
- 10° es aproximadamente la anchura de un puño cerrado a la longitud del brazo.
- 20° es aproximadamente la anchura de un palmo a la longitud del brazo.
Estas medidas dependen claramente de cada sujeto, y las anteriores deben tratarse sólo como aproximaciones de regla general.