Antes de entrarmos nas propriedades do logaritmo, vamos discutir brevemente a relação entre logaritmos e expoentes. O logaritmo de um número é definido como o poder ou índice a que uma determinada base deve ser elevada para obter o número.
Dado que, ax = M; onde a e M é maior que zero e um ≠ 1, então, podemos representar isto simbolicamente em forma logarítmica como;
log a M = x
Exemplos:
- 2-3= 1/8 ⇔ log 2 (1/8) = -3
- 10-2= 0.01 ⇔ log 1001 = -2
- 26= 64 ⇔ log 2 64 = 6
- 32= 9 ⇔ log 3 9 = 2
- 54= 625 ⇔ log 5 625 = 4
- 70= 1 ⇔ log 7 1 = 0
- 3- 4= 1/34 = 1/81 ⇔ log 3 1/81 = -4
- 10-2= 1/100 = 0.01 ⇔ log 1001 = -2
Propriedades logarítmicas
Propriedades e regras logarítmicas são úteis porque nos permitem expandir, condensar ou resolver equações logarítmicas. É por estas razões.
Na maioria dos casos, é-lhe dito para memorizar as regras ao resolver problemas logarítmicos, mas como são estas regras derivadas.
Neste artigo, analisaremos as propriedades e regras de logaritmos derivadas usando as leis dos expoentes.
- h3>Produto propriedade dos logaritmos
A regra do produto afirma que a multiplicação de dois ou mais logaritmos com bases comuns é igual à adição dos logaritmos individuais i.e.
log a (MN) = log a M + log a N
Proof
- Let x = log aM e y = log a
- Converta cada uma destas equações para a forma exponencial.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- >li>> Multiplicar os termos exponenciais (M & N):
- Torrão com base ‘a’ em ambos os lados.
- Agora, substituir os valores de x e y na equação que obtemos acima.
ax * ay = MN
- >li>Por conseguinte, como a base é comum, adicionar os expoentes:
a x + y = MN
log a (a x + y) = log a (MN)
- >li>Aplicar a regra de poder de um logaritmo.
log a Mn ⇒ n log a M
(x + y) log a a = log a (MN)
(x + y) = log a (MN)
log a M + log a N = log a (MN)
Hence, provado
log a (MN) = log a M + log a N
Exemplos:
- log50 + log 2 = log100 = 2
- log 2 (4 x 8) = log 2 (22 x 23) =5
- h3>Quotient property of logarithms
Esta regra declara que a relação de dois logaritmos com as mesmas bases é igual à diferença dos logaritmos i.e.
log a (M/N) = log a M – log a N
Proof
- Let x = log aM e y = log a
- Converta cada uma destas equações para a forma exponencial.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- >li>>Divide os termos exponenciais (M & N):
- Torrão com base ‘a’ em ambos os lados.
- Aplicar a regra de poder do logaritmo em ambos os lados.
- Agora, substituir os valores de x e y na equação que obtemos acima.
- Let,
- log a a xn = log a M n ⇒ xn log a a = log a M n ⇒ xn = log a M n
- Agora, substituir os valores de x e y na equação que obtemos acima e simplificar.
- Aplicar a regra de poder.
- Isolando x.
- Substituindo o valor de x.
- O logaritmo de 1 a qualquer base finita não nula é zero.
ax / ay = M/N
- >li>Por isso, como a base é comum, subtrair os expoentes:
a x – y = M/N
log a (a x – y) = log a (M/N)
log a Mn ⇒ n log a M
(x – y) log a a = log a (M/N)
p>(x – y) = log a (M/N)
log a M – log a N = log a (M/N)
Hence, provado
log a (M/N) = log a M – log a N
Potência de logaritmos
Segundo a propriedade de potência do logaritmo, o registo de um número “M” com expoente “n” é igual ao produto de expoente com um registo de um número (sem expoente) i.e.
log a M n = n log a M
Proof
x = log a M
- li>Li>Rescrever como uma equação exponencial.
a x = M
- li>Li>Tirar poder ‘n’ em ambos os lados da equação.
(a x) n = M n
⇒ a xn = M n
- >li>Take log on both sides of the equation with the base a.
log a a xn = log a M n
Sabemos,
p>x = log a M
p>So,
xn = log a M n ⇒ n log a M = log a M n
Hence, provado
log a M n = n log a M
Exemplos:
log1003 = 3 log100 = 3 x 2 = 6
Mudança da propriedade de base dos logaritmos
De acordo com a mudança da propriedade de base do logaritmo, podemos reescrever um dado logaritmo como a proporção de dois logaritmos com qualquer nova base. É dado como:
log a M = log b M/ log b N
ou
log a M = log b M × log N b
P>A prova de logaritmos pode ser feita utilizando a propriedade de um para um e a regra de potência para logaritmos.
Prova
- li>Expressar cada logaritmo de forma exponencial através do letting;
p>p>Let,p>x = log N M
- li>Convertê-lo de forma exponencial,
M = N x
- li>Li>Aplicar uma a uma propriedade.
log b N x = log b M
x log b N = log b M
x = log b M / log b N
log a M = log b M / log b N
ou podemos escrevê-lo como,
p>log a M = log b M × log a b
Hence, provado.
Outras propriedades dos logaritmos incluem:
Prova:
log a 1 = 0⟹ a 0=1
- O logaritmo de qualquer número positivo para a mesma base é igual a 1.
Prova:
log a a=1 ⟹ a1= a
Exemplo:
log 5 15 = log 15/log 5
Perguntas Práticas
1. Expressar os seguintes logaritmos como uma única expressão
a. log 5 (x + 2) + log 5 (x – 2)
b. 2log x – log (x -1)
c. 3log 2 (x) + log 2 (y – 2) – 2logs a (z)
d. 4 log b (x + 2) – 3log b (x – 5)
e. 2log a (y) + 0,5log a (x + 4)
f. 2ln 8 + 5ln x
2. Expandir os seguintes logaritmos
a. log 2 (4xy5)
b. log(xy/z)
c. log 5 (ab)1/2
d. log 4 (2x)2
e. log 6 (ab)4
3. resolver x em log (x – 2) – log (2x – 3) = log 2
4. escrever o logaritmo equivalente do log 2 x8.
5. Resolver para x em cada uma das seguintes equações logarítmicas
a. log 2x = 3
b. log x8 = 3
c. log 3x = 1
d. log3 = 2
e. log4 = 0
f. log (1/x + 1) = 2
g. log x0.0001 = 4
6. Simplificar log ay
7. Escrever log b(2x + 1) = 3 de forma exponencial.
8. Resolver os seguintes logaritmos sem calculadora:
a. log 9 3
b. log 10000
c. ln e7
d. ln 1
e. ln e-3