Discussão
aceleração devido à gravidade
Quer ver um objecto a acelerar?
- Pega em algo com a mão e deixa-o cair. Quando o solta da sua mão, a sua velocidade é zero. Na descida, a sua velocidade aumenta. Quanto mais tempo cai, mais rápido viaja. Parece-me aceleração.
- mas a aceleração é mais do que apenas aumentar a velocidade. Pegue neste mesmo objecto e atire-o verticalmente para o ar. Ao subir a sua velocidade diminuirá até parar e inverter a direcção. A velocidade decrescente é também considerada aceleração.
li> mas a aceleração é mais do que uma simples mudança de velocidade. Pegue no seu objecto batido e lance-o uma última vez. Desta vez lance-o horizontalmente e repare como a sua velocidade horizontal se torna gradualmente mais e mais vertical. Uma vez que aceleração é a taxa de mudança de velocidade com o tempo e velocidade é uma quantidade vectorial, esta mudança de direcção é também considerada aceleração.
Em cada um destes exemplos, a aceleração foi o resultado da gravidade. O seu objecto estava a acelerar porque a gravidade o estava a puxar para baixo. Mesmo o objecto atirado para cima está a cair – e começa a cair no minuto em que deixa a sua mão. Se não estivesse, teria continuado a afastar-se de si numa linha recta. Esta é a aceleração devida à gravidade.
Quais são os factores que afectam esta aceleração devido à gravidade? Se perguntasse isto a uma pessoa típica, ela muito provavelmente diria “peso” pelo qual na realidade significa “massa” (mais sobre isto mais tarde). Ou seja, objectos pesados caem rapidamente e objectos leves caem lentamente. Embora isto possa parecer verdade na primeira inspecção, não responde à minha pergunta original. “Quais são os factores que afectam a aceleração devido à gravidade?” A massa não afecta a aceleração devida à gravidade de qualquer forma mensurável. As duas quantidades são independentes uma da outra. Os objectos leves aceleram mais lentamente do que os objectos pesados apenas quando forças diferentes da gravidade também estão em acção. Quando isto acontece, um objecto pode estar a cair, mas não está em queda livre. A queda livre ocorre sempre que um objecto é agido apenas pela gravidade.
Tenta esta experiência.
- Obter um pedaço de papel e um lápis. Segure-os à mesma altura sobre uma superfície plana e deixe-os cair simultaneamente. A aceleração do lápis é visivelmente maior do que a aceleração do pedaço de papel, que flutua e se desloca ao descer.
Algum outro aspecto está a atrapalhar aqui – e essa coisa é a resistência ao ar (também conhecida como resistência aerodinâmica). Se pudéssemos de alguma forma reduzir este arrastamento, teríamos uma verdadeira experiência. Não há problema.
- Repeite a experiência, mas antes de começar, enfie o pedaço de papel na bola mais apertada possível. Agora quando o papel e o lápis são soltos, deve ser óbvio que as suas acelerações são idênticas (ou pelo menos mais semelhantes do que antes).
Estamos a aproximar-nos da essência deste problema. Se ao menos de alguma forma conseguíssemos eliminar completamente a resistência do ar. A única maneira de o fazer é deixar cair os objectos no vácuo. É possível fazer isto na sala de aula com uma bomba de vácuo e uma coluna de ar selada. Em tais condições, uma moeda e uma pena podem ser mostradas para acelerar ao mesmo ritmo. (Antigamente, na Grã-Bretanha, utilizava-se uma moeda chamada “guinea” e por isso esta demonstração é por vezes chamada de “guinea e pena”). Uma demonstração mais dramática era feita na superfície da lua – que está tão próxima de um verdadeiro vácuo como é provável que os humanos venham a experimentar a qualquer momento. O astronauta David Scott libertou um martelo de pedra e uma pena de falcão ao mesmo tempo durante a missão lunar da Apollo 15 em 1971. De acordo com a teoria que estou prestes a apresentar, os dois objectos aterraram na superfície lunar em simultâneo (ou quase). Apenas um objecto em queda livre experimentará uma aceleração pura devido à gravidade.
a torre inclinada de Pisa
Vamos saltar um pouco para trás no tempo. No mundo ocidental anterior ao século XVI, supunha-se geralmente que a aceleração de um corpo em queda seria proporcional à sua massa – ou seja, esperava-se que um objecto de 10 kg acelerasse dez vezes mais depressa do que um objecto de 1 kg. O antigo filósofo grego Aristóteles de Stagira (384-322 a.C.), incluiu esta regra no que foi talvez o primeiro livro sobre mecânica. Era uma obra imensamente popular entre os académicos e, ao longo dos séculos, tinha adquirido uma certa devoção que beirava o religioso. Só quando o cientista italiano Galileo Galilei (1564-1642) apareceu é que alguém pôs à prova as teorias de Aristóteles. Ao contrário de todos os outros até esse momento, Galileu tentou realmente verificar as suas próprias teorias através da experimentação e observação cuidadosa. Ele combinou então os resultados destas experiências com a análise matemática num método que era totalmente novo na altura, mas que agora é geralmente reconhecido como a forma como a ciência é feita. Para a invenção deste método, Galileu é geralmente considerado como o primeiro cientista do mundo.
Num conto que pode ser apócrifo, Galileu (ou um assistente, mais provavelmente) deixou cair dois objectos de massa desigual da Torre Inclinada de Pisa. Muito ao contrário dos ensinamentos de Aristóteles, os dois objectos atingiram o chão simultaneamente (ou quase). Dada a velocidade a que tal queda ocorreria, é duvidoso que Galileu pudesse ter extraído muita informação desta experiência. A maior parte das suas observações de corpos em queda eram realmente de objectos redondos a rolar por rampas. Isto atrasou o suficiente até ao ponto de poder medir os intervalos de tempo com relógios de água e o seu próprio pulso (os cronómetros e fotogates ainda não foram inventados). Isto repetiu “uma centena de vezes” até ter alcançado “uma precisão tal que o desvio entre duas observações nunca excedeu um décimo de pulsação”
Com resultados como estes, pensar-se-ia que as universidades da Europa teriam conferido a Galileo a sua maior honra, mas tal não foi o caso. Os professores da época ficaram chocados com os métodos relativamente vulgares de Galileu, chegando ao ponto de recusar reconhecer aquilo que qualquer pessoa podia ver com os seus próprios olhos. Num movimento que qualquer pessoa que pensasse agora acharia ridículo, o método de observação controlada de Galileu era considerado inferior à razão pura. Imaginem isto! Eu poderia dizer que o céu era verde e desde que apresentasse um argumento melhor do que qualquer outro, seria aceite como facto contrário à observação de quase todas as pessoas avistadas no planeta.
Galileo chamou ao seu método “novo” e escreveu um livro intitulado Discursos sobre Duas Novas Ciências em que utilizou a combinação de observação experimental e raciocínio matemático para explicar coisas como o movimento unidimensional com aceleração constante, a aceleração devida à gravidade, o comportamento dos projécteis, a velocidade da luz, a natureza do infinito, a física da música, e a força dos materiais. As suas conclusões sobre a aceleração devida à gravidade foram que…
a variação da velocidade do ar entre bolas de ouro, chumbo, cobre, pórfiro, e outros materiais pesados é tão pequena que numa queda de 100 cúbitos uma bola de ouro certamente não ultrapassaria uma de cobre em até quatro dedos. Tendo observado isto, cheguei à conclusão de que num meio totalmente desprovido de resistência todos os corpos cairiam com a mesma velocidade.
Porque penso que ninguém acredita que nadar ou voar pode ser realizado de uma forma mais simples ou mais fácil do que aquela instintivamente empregada por peixes e aves. Quando, portanto, observo uma pedra inicialmente em repouso a cair de uma posição elevada e a adquirir continuamente novos incrementos de velocidade, porque não acreditar que tais incrementos ocorrem de uma forma que é extremamente simples e bastante óbvia para todos?
Duvido muito que Aristóteles alguma vez tenha sido testado por experiência.
Galileo Galilei, 1638
Apesar daquela última citação, Galileu não estava imune à utilização da razão como meio para validar a sua hipótese. Na sua essência, o seu argumento funcionou da seguinte forma. Imagine duas rochas, uma grande e uma pequena. Uma vez que são de massa desigual, irão acelerar a ritmos diferentes – a grande rocha irá acelerar mais rapidamente do que a pequena rocha. Agora coloque a rocha pequena em cima da rocha grande. O que irá acontecer? De acordo com Aristóteles, a rocha grande irá afastar-se da rocha pequena. E se invertermos a ordem e colocarmos a pequena rocha abaixo da grande rocha? Parece que devemos raciocinar que dois objectos juntos devem ter uma aceleração menor. A rocha pequena atrapalharia e abrandaria a rocha grande. Mas dois objectos juntos são mais pesados do que qualquer um deles por si só e por isso devemos também raciocinar que eles terão uma aceleração maior. Isto é uma contradição.
p>Aqui está outro problema de pensamento. Pegue em dois objectos de massa igual. De acordo com Aristóteles, eles devem acelerar ao mesmo ritmo. Agora amarrem-nos com um pedaço de corda leve. Juntos, deveriam ter o dobro da sua aceleração original. Mas como é que eles sabem fazer isto? Como é que os objectos inanimados sabem que estão ligados? Vamos alargar o problema. Cada objecto pesado não é apenas um conjunto de peças mais leves coladas umas às outras? Como é que um conjunto de peças leves, cada uma em movimento com uma pequena aceleração, pode de repente acelerar rapidamente uma vez unidas? Argumentamos Aristóteles num canto. A aceleração devida à gravidade é independente da massa.
Galileo fez muitas medições relacionadas com a aceleração devida à gravidade mas nunca calculou uma vez o seu valor (ou se o fez, nunca o vi reportado em lado nenhum). Em vez disso, declarou as suas descobertas como um conjunto de proporções e relações geométricas – muitas delas. A sua descrição da velocidade constante exigia uma definição, quatro axiomas, e seis teoremas. Todas estas relações podem agora ser escritas como a equação única na notação moderna.
| v = | ∆s |
Símbolos algébricos podem conter tanta informação como várias frases de texto, e é por isso que são utilizados. Ao contrário da sabedoria comum, a matemática facilita a vida.
localização, localização, localização
O valor geralmente aceite para a aceleração devido à gravidade sobre e perto da superfície da Terra é…
g = 9.8 m/s2
ou em unidades não-SI…
g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 pés/s2
É útil memorizar este número (como milhões de pessoas em todo o globo já o fizeram), no entanto, também deve ser salientado que este número não é uma constante. Embora a massa não tenha qualquer efeito sobre a aceleração devida à gravidade, há três factores que o fazem. São eles localização, localização, localização.
p>Todos os leitores devem estar familiarizados com as imagens dos astronautas que saltam sobre a Lua e devem saber que a gravidade ali é mais fraca do que na Terra – cerca de um sexto tão forte ou 1,6 m/s2. É por isso que os astronautas puderam saltar facilmente à superfície apesar do peso dos seus fatos espaciais. Em contraste, a gravidade em Júpiter é mais forte do que na Terra – cerca de duas vezes e meia mais forte ou 25 m/s2. Os astronautas que navegassem pelo topo da espessa atmosfera de Júpiter encontrar-se-iam a lutar para se levantarem dentro da sua nave espacial.
Na Terra, a gravidade varia com a latitude e a altitude (a ser discutido num capítulo posterior). A aceleração devida à gravidade é maior nos pólos do que no equador e maior ao nível do mar do que no topo do Monte Evereste. Existem também variações locais que dependem da geologia. O valor de 9,8 m/s2 – com apenas dois dígitos significativos – é verdadeiro para todos os lugares na superfície da Terra e mantém-se para altitudes até +10 km (a altitude dos aviões comerciais a jacto) e profundidades até -20 km (muito abaixo das minas mais profundas).
Quão louco é para a precisão? Para a maioria das aplicações, o valor de 9,8 m/s2 é mais do que suficiente. Se estiver com pressa, ou não tiver acesso a uma calculadora, ou simplesmente não precisar de ser tão preciso; arredondar g na Terra para 10 m/s2 é muitas vezes aceitável. Durante um exame de escolha múltipla onde as calculadoras não são permitidas, este é muitas vezes o caminho a seguir. Se precisar de maior precisão, consulte um trabalho de referência abrangente para encontrar o valor aceite para a sua latitude e altitude.
Magnify
Se isso não for suficientemente bom, então obtenha os instrumentos necessários e meça o valor local para o maior número de dígitos significativos que puder. Poderá aprender algo interessante sobre a sua localização. Uma vez conheci um geólogo cujo trabalho era medir g em toda uma porção da África Ocidental. Quando lhe perguntei para quem trabalhava e porque o fazia, ele recusou-se basicamente a responder, a não ser para dizer que se podia inferir a estrutura interior da Terra a partir de um mapa gravimétrico preparado a partir das suas descobertas. Sabendo isto, poder-se-ia então identificar estruturas onde minerais valiosos ou petróleo poderiam ser encontrados.
Como todas as profissões, aqueles no ramo da medição da gravidade (gravimetria) têm o seu próprio jargão especial. A unidade SI de aceleração é o metro por segundo ao quadrado. Divide-se isso em cem partes e obtém-se o centímetro por segundo ao quadrado, também conhecido como a gal em honra de Galileu. Note-se que a palavra para a unidade é toda em minúsculas, mas o símbolo é maiúsculo. A gal é um exemplo de uma unidade gaussiana.
001 Gal = 1 cm/s2 = 0.01 m/s2
100 Gal = 100 cm/s2 = 1 m/s2.
Dividir uma gal em mil partes e obtém-se um miligal .
1 mGal = 0,001 Gal = 10-5 m/s2
P>Desde que a gravidade da Terra produz uma aceleração superficial de cerca de 10 m/s2, um miligal é cerca de 1 milionésimo do valor a que todos estamos habituados.
1 g ≈ 10 m/s2 = 1.000 Gal = 1.000.000 mGal
Medições com esta precisão podem ser usadas para estudar mudanças na crosta terrestre, níveis do mar, correntes oceânicas, gelo polar, e águas subterrâneas. Empurra-se um pouco mais e é mesmo possível medir as mudanças na distribuição da massa na atmosfera. A gravidade é um assunto de peso que será discutido em mais pormenor mais adiante neste livro.
Gee, Wally
Não confunda o fenómeno da aceleração devida à gravidade com a unidade de um nome semelhante. A quantidade g tem um valor que depende da localização e é aproximadamente…
g = 9,8 m/s2
a quase em todo o lado na superfície da Terra. A unidade g tem o valor exacto de…
g = 9,80665 m/s2
por definição.
utilizam também símbolos ligeiramente diferentes. A unidade definida usa o g romano ou vertical, enquanto que o fenómeno natural que varia com a localização usa o g em itálico ou oblíquo. Não confundir g com g.
Como mencionado anteriormente, o valor de 9,8 m/s2 com apenas dois dígitos significativos é válido para a maior parte da superfície da Terra até à altitude dos aviões a jacto comerciais, razão pela qual é usado ao longo deste livro. O valor de 9,80665 m/s2 com seis dígitos significativos é a chamada aceleração padrão devido à gravidade ou gravidade padrão. É um valor que funciona para latitudes de cerca de 45° e altitudes não muito acima do nível do mar. É aproximadamente o valor para a aceleração devida à gravidade em Paris, França – a cidade natal do Gabinete Internacional de Pesos e Medidas. A ideia original era estabelecer um valor padrão para a gravidade para que as unidades de massa, peso e pressão pudessem ser relacionadas – um conjunto de definições que agora são obsoletas. O Bureau optou por fazer funcionar esta definição para o local onde se encontrava o seu laboratório. As antigas definições de unidades caducaram, mas o valor da gravidade padrão continua a existir. Agora é apenas um valor acordado para se fazer comparações. É um valor próximo do que experimentamos na nossa vida quotidiana – apenas com demasiada precisão.
alguns livros recomendam uma precisão de compromisso de 9,81 m/s2 com três dígitos significativos para cálculos, mas este livro não o faz. Na minha localização em Nova Iorque, a aceleração devido à gravidade é de 9,80 m/s2. O arredondamento da gravidade padrão para 9,81 m/s2 é errado para a minha localização. O mesmo é verdade até ao equador, onde a gravidade é de 9,780 m/s2 ao nível do mar – 9,81 m/s2 é simplesmente demasiado grande. Dirija-se para norte de Nova Iorque e a gravidade aproxima-se cada vez mais dos 9,81 m/s2 até acabar por ser. Isto é óptimo para os canadianos no sul do Québec, mas a gravidade continua a aumentar à medida que se dirige mais para norte. No Pólo Norte (e no Pólo Sul também), a gravidade é de 9,832 m/s2. O valor 9,806 m/s2 está a meio caminho entre estes dois extremos, por isso é mais ou menos verdade dizer que…
g = 9,806 ± 0,026 m/s2
Isto não é a mesma coisa que uma média, no entanto. Para isso, use este valor que alguém derivou…
g = 9,798 m/s2
Aqui estão as minhas sugestões. Utilizar o valor de 9,8 m/s2 com dois dígitos significativos para cálculos sobre a superfície da Terra, a menos que seja especificado um valor de gravidade diferente. Isto parece razoável. Utilize o valor de 9,80665 m/s2 com seis dígitos significativos apenas quando quiser converter m/s2 para g. É esta a lei.
A unidade g é frequentemente utilizada para medir a aceleração de uma moldura de referência. “Dizer o quê?” Esta é uma linguagem técnica que será elaborada mais tarde noutra secção deste livro, mas vou explicá-la com exemplos, por agora. Enquanto escrevo isto, estou sentado em frente ao meu computador no meu escritório em casa. A gravidade está a atrair o meu corpo para a cadeira do meu escritório, os meus braços para a secretária, e os meus dedos para o teclado. Este é o mundo normal de 1 g (um gee) a que todos estamos habituados. Podia levar um computador portátil comigo para um parque de diversões, subir numa montanha-russa, e tentar fazer alguma escrita lá. A gravidade funciona numa montanha-russa tal como funciona em casa, mas como a montanha-russa está a acelerar para cima e para baixo (para não mencionar lado a lado) a sensação de gravidade normal da Terra perde-se. Haverá alturas em que me sentirei mais pesado do que o normal e alturas em que caí mais leve do que o normal. Estes correspondem a períodos de mais de um g e menos de um g. Também poderia levar o meu portátil comigo numa viagem ao espaço exterior. Após um breve período de 2 ou 3 g (dois ou três gee) a acelerar para longe da superfície da Terra, a maioria das viagens espaciais são gastas em condições de aparente ausência de peso ou 0 g (zero gee). Isto acontece não porque a gravidade deixa de funcionar (a gravidade tem um alcance infinito e nunca é repulsiva), mas porque uma nave espacial é uma estrutura de referência acelerada. Como disse anteriormente, este conceito será discutido mais detalhadamente numa secção posterior deste livro.