Potencias y exponentes

Sabemos calcular la expresión 5 x 5. Esta expresión se puede escribir de forma más corta utilizando algo llamado exponentes.

$5\cdot 5=5^{2}$

Una expresión que representa la multiplicación repetida de un mismo factor se llama potencia.

El número 5 se llama base, y el número 2 se llama exponente. El exponente corresponde al número de veces que la base se utiliza como factor.

figura10

42

31 3 a la primera potencia 3
4 a la segunda potencia o 4 al cuadrado 4 ∙ 4
53 5 a la tercera potencia o 5 al cubo 5 ∙ 5 ∙ 5 26 2 a la potencia de seis 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

Ejemplo

Escribe estas multiplicaciones como exponentes

$5\cdot 5\cdot 5=5^{3}$

$4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^{5}$

$3\cdot 3\cdot 3=3^{4}$

Multiplicación

Si dos potencias tienen la misma base entonces podemos multiplicar las potencias. Cuando multiplicamos dos potencias sumamos sus exponentes.

La regla:

$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

Ejemplo

$4^{2}\cdot 4^{5}=left ( 4\cdot 4 \right )\cdot \left ( 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 \ right )=4^{7}=4^{2+5}$

División

Si dos potencias tienen la misma base entonces podemos dividir las potencias. Cuando dividimos potencias restamos sus exponentes.

La regla:

$\frac{x^{a}}{ x^{b}}=x^{a-b}$

Ejemplo

$frac{4^{2}}{ 4^{5}}={frac{color{rojo}{no}{4}{cdot{color{rojo}} {{no}{4}} {{color}{rojo}{no}{4}}=4^{-3}=4^{2-5}$

Un exponente negativo es igual al recíproco del exponente positivo.

$x^{-a}=\frac{1}{x^{a}}$

Ejemplo

$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}$

Cuando se eleva un producto a una potencia se eleva cada factor con una potencia

$(x\cdot y)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}$

Ejemplo

$(2x)^{4}=2^{4}\cdot x^{4}=16x^{4}$

La regla de la potencia de una potencia y la potencia de un producto se pueden combinar en la siguiente regla:

$(x^{a}\cdot y^{b})^{z}=x^{a\cdot z}\cdot y^{b\cdot z}$

Ejemplo

$(x^{3}\cdot y^{4})^{2}=x^{3\cdot 2}\cdot y^{4\cdot 2}=x^{6}\cdot y^{8}$

Video lecciones

Redactar las expresiones

$2\cdot 2\cdot 2$

$x\cdot x\cdot x\cdot x$

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