Trasformazioni di funzioni

muovere e capovolgere Proprio come le trasformazioni in geometria, possiamo spostare e ridimensionare i grafici delle funzioni

Cominciamo con una funzione, in questo caso è f(x) = x2, ma potrebbe essere qualsiasi cosa:

Funzione quadrata

f(x) = x2

Ecco alcune semplici cose che possiamo fare per spostarla o scalarla sul grafico:

Possiamo spostarla in alto o in basso aggiungendo una costante al valore y:

Traslazione

g(x) = x2 + C

Nota: per spostare la linea in basso, usiamo un valore negativo per C.

  • C > 0 la sposta in alto
  • C < 0 la sposta in basso

Possiamo spostarla a sinistra o a destra aggiungendo una costante al valore di x:

Traslazione

g(x) = (x+C)2

Aggiungendo C si sposta la funzione a sinistra (la direzione negativa).

Perché? Beh, immaginate di ereditare una fortuna quando la vostra età = 25 anni. Se lo cambiate in (età+4) = 25 allora la riceverete a 21 anni. L’aggiunta di 4 lo fa accadere prima.

  • C > 0 lo sposta a sinistra
  • C < 0 lo sposta a destra

Ma dobbiamo aggiungere C ovunque appaia x nella funzione (stiamo sostituendo x+C a x).

Esempio: la funzione v(x) = x3 – x2 + 4x

Per spostare C spazi a sinistra, aggiungere C a x ovunque appaia x:

w(x) = (x + C)3 – (x + C)2 + 4(x + C)

Un modo semplice per ricordare cosa succede al grafico quando si aggiunge una costante:

aggiungere a y per andare in alto
aggiungere a x per andare a sinistra

Possiamo allungare o comprimere in direzione y moltiplicando l’intera funzione per una costante.

Scala

g(x) = 0.35(x2)

  • C > 1 lo allunga
  • 0 < C < 1 lo comprime

Si può allungare o comprimere in direzione x-moltiplicando x per una costante.

Scala

g(x) = (2x)2

  • C > 1 lo comprime
  • 0 < C < 1 lo allunga

Nota che (a differenza della direzione y-direzione), valori più grandi causano una maggiore compressione.

Possiamo capovolgerla moltiplicando l’intera funzione per -1:

Scalatura

g(x) = -(x2)

Questo si chiama anche riflessione sull’asse x (l’asse dove y=0)

Possiamo combinare un valore negativo con una scalatura:

Esempio: moltiplicando per -2 si capovolge e si allunga in direzione y.

Possiamo capovolgerlo a sinistra e a destra moltiplicando il valore x per -1:

Scaling

g(x) = (-x)2

Lo capovolge davvero a destra e a sinistra! Ma non puoi vederlo, perché x2 è simmetrico rispetto all’asse y. Quindi ecco un altro esempio usando √(x):

Scala

g(x) = √(-x)

Questo si chiama anche riflessione sull’asse y(l’asse dove x=0)

Sommario

y = f(x) + C
  • C > 0 lo sposta in alto
  • C < 0 lo sposta in basso
y = f(x + C)
  • C > 0 lo sposta a sinistra
  • C < 0 lo sposta a destra
y = Cf(x)
  • C > 1 lo estende nella direzione y-direzione
  • 0 < C < 1 lo comprime
y = f(Cx)
  • C > 1 lo comprime nella direzione x-direzione
  • 0 < C < 1 lo allunga
y = -f(x)
  • Lo riflette sull’asse x-
y = f(-x)
  • Lo riflette sull’asse y

Esempi

Esempio: la funzione g(x) = 1/x

Ecco alcune cose che possiamo fare:

Sposta 2 spazi in alto:h(x) = 1/x + 2
Sposta 3 spazi in basso:h(x) = 1/x – 3
Sposta 4 spazi a destra:h(x) = 1/(x-4) grafico
Sposta 5 spazi a sinistra:h(x) = 1/(x+5)
Allungala di 2 nella direzione y:h(x) = 2/x
Comprimila di 3 nella direzione x:h(x) = 1/(3x)
Capovolgila:h(x) = -1/x

Esempio: la funzione v(x) = x3 – 4x

Ecco alcune cose che possiamo fare:

Spostare 2 spazi in alto:w(x) = x3 – 4x + 2
Spostare 3 spazi in basso:w(x) = x3 – 4x – 3
Spostare 4 spazi a destra:w(x) = (x-4)3 – 4(x-4)
Sposta 5 spazi a sinistra:w(x) = (x+5)3 – 4(x+5) grafico
Allunga di 2 in direzione y:w(x) = 2(x3 – 4x)
= 2×3 – 8x
Comprimilo di 3 nella direzione delle x:w(x) = (3x)3 – 4(3x)
= 27×3 – 12x
Capovolgilo:w(x) = -x3 + 4x

Tutto in uno ….

Possiamo fare tutte le trasformazioni in una volta sola usando questo:

af( b(x + c) ) + d

a è l’allungamento/compressione verticale

  • |a| > 1 allunga
  • |a| < 1 comprime
  • a < 0 capovolge il grafico in giù

b è tratto/compressione orizzontale

  • |b| > 1 comprime
  • |b| < 1 allunga
  • b < 0 capovolge il grafico da sinistra adestra

c è lo spostamento orizzontale

  • c < 0 si sposta a destra
  • c > 0 si sposta a sinistra

d è lo spostamento verticale

  • d > 0 si sposta verso l’alto
  • d < 0 si sposta verso il basso

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