Che cos’è una relazione inversa?
Una relazione inversa è una che è l’inverso di un’altra o una in cui quando un fattore variabile aumenta, un altro diminuisce. Il termine inglese inverse deriva da una parola latina che significa “capovolgere”; o opposto in qualche modo. È il tipo di relazione che appare in molte discipline, tra cui matematica, economia e finanza. Alcuni esempi da ciascuna di queste aree illustreranno come si verificano e operano le relazioni inverse. Cominciamo con la matematica.
Esempi di relazioni inverse
Tutti gli esempi di relazioni inverse che si possono incontrare implicano l’inversione o il contrario di un’associazione che ci si potrebbe aspettare. Comportano un legame tra due variabili, dove o (i) le variabili dipendenti e indipendenti si scambiano i ruoli, cioè, la variabile dipendente diventa la variabile indipendente e viceversa; o la variabile dipendente diminuisce (aumenta) quando la variabile indipendente aumenta (diminuisce).
Relazioni inverse in matematica
In matematica, spesso incontriamo coppie di variabili che sono collegate in qualche modo. Un insieme di tali variabili potrebbe apparire così: {(-5, -6) (-3, -2) (0, 4) (2, 8)}, dove i valori che compaiono per primi rappresentano una variabile e i valori in seconda posizione rappresentano un’altra variabile. In molti casi, i valori che rappresentano la prima variabile possono essere descritti come valori x; quelli che rappresentano la seconda variabile, come valori y. Il legame tra le due variabili può dipendere da qualche relazione causale o possono essere state accoppiate casualmente. Indipendentemente da ciò, in virtù dell’accoppiamento, i valori x e y in ogni coppia, e per estensione, le due variabili che rappresentano sono ora in una relazione. Questa relazione può essere descritta da una regola che prende i valori della prima variabile (valori x) e ci dice i valori corrispondenti della seconda variabile (valori y). Altrettanto legittimamente, la relazione può essere descritta da una regola che prende i valori della seconda variabile (valori y) e ci dice i valori corrispondenti della prima variabile (valori x). Tali regole in matematica sono note come funzioni.
Una funzione matematica è semplicemente una regola che descrive la relazione tra coppie ordinate, andando sia dai valori di x ai valori di y, nel qual caso si scrive y = f(x) o dai valori di y ai valori di x e si scrive x = f(y) o y = f-1(x). L’insieme dei valori della variabile tra parentesi è detto dominio, mentre l’insieme dei valori dell’altra variabile è detto intervallo. Così, in y = f(x), i valori di x sono il dominio, mentre i valori di y sono l’intervallo. A volte, una funzione è descritta come una macchina che prende l’input – i valori x – e fornisce l’output – i valori y.
Come ogni regola, il suo risultato deve essere inequivocabile. È una regola povera quella che dà un risultato oggi e un altro domani. Di conseguenza, in f = (x), ogni valore x deve risultare in un solo valore y e tutti i valori x devono avere un risultato. Quindi, per qualsiasi insieme di coppie ordinate, ci saranno due regole, con una che è l’inverso dell’altra, cioè la seconda regola avrebbe descritto una funzione che è l’inverso della prima regola. E la seconda funzione avrebbe una relazione inversa alla prima funzione.
Quando una va su, l’altra va giù
Tuttavia, una relazione inversa può esistere anche tra le variabili x e y piuttosto che tra le funzioni. In questi casi, una relazione inversa è l’opposto di una relazione diretta, dove in y = f(x), y aumenta all’aumentare di x o in x = f(y), x aumenta all’aumentare di y. In una relazione inversa, data da y = f(x), y diminuisce all’aumentare di x.
Queste relazioni possono essere illustrate graficamente.
Relazioni inverse in economia
Le curve di domanda e offerta sono mostrate qui sotto.
Ci sono molti casi di relazioni inverse in economia. Quella che si incontra più frequentemente è la relazione prezzo-domanda, dove la quantità richiesta diminuisce (aumenta) quando il prezzo aumenta (diminuisce). Questa relazione è ampiamente conosciuta come legge della domanda.
La curva di domanda mostra la quantità richiesta di un bene a diversi livelli di prezzo. Si noti che la domanda non è la stessa cosa della quantità richiesta. La domanda di un bene dipende da molti fattori: il prezzo del bene, il prezzo di altri beni, il livello di reddito e di ricchezza, le preferenze individuali, ecc. La curva di domanda qui sopra mostra le quantità del bene richieste a diversi livelli di prezzo, quando gli altri fattori sono tenuti costanti.
La relazione inversa tra il prezzo di qualcosa e la quantità richiesta di esso dipende da due influenze. In primo luogo, una riduzione del prezzo di un prodotto significa che una quantità maggiore di esso può essere acquistata per la stessa spesa di prima. In secondo luogo, il prezzo più basso di un prodotto aumenta il reddito reale, poiché è necessario meno denaro per acquistare il prodotto, anche se il reddito monetario rimane lo stesso. L’aumento del reddito reale significa che una quantità maggiore di tutti i beni, incluso quello il cui prezzo è stato ridotto, può essere acquistato.
Al contrario, la curva di offerta illustra una relazione diretta. Quando i prezzi salgono, i fornitori esistenti cercheranno di vendere di più, mentre i nuovi fornitori saranno incoraggiati ad entrare nel mercato. Di conseguenza, la quantità fornita del prodotto aumenterà all’aumentare dei prezzi.
Relazioni inverse in finanza
La connessione tra i tassi di interesse e i prezzi delle obbligazioni è una relazione inversa. I prezzi delle obbligazioni scendono quando i tassi di interesse salgono e salgono quando i tassi di interesse scendono. Questo accade perché un’obbligazione è uno strumento finanziario a reddito fisso. Quando un’obbligazione viene emessa, il suo valore nominale, che è la quantità di denaro, tipicamente $1.000, che l’obbligazione è stata emessa per raccogliere, è stabilito. Inoltre, l’obbligazione avrà un tasso cedolare, che determina il pagamento della cedola fissa. Quindi un tasso cedolare del 10% significa che l’obbligazione da 1.000 dollari pagherà 100 dollari all’anno.
Se viene emessa un’obbligazione da 1.000 dollari di rischio simile che ha un tasso cedolare del 12%, le obbligazioni al 10% diminuiranno di valore, perché pagano solo 100 dollari all’anno, mentre le nuove obbligazioni pagano 120 dollari. Il prezzo delle vecchie obbligazioni scenderà fino a quando il loro pagamento di 100 dollari all’anno sarà uguale al 12%, cioè 100 dollari/0,12 = 833,33 dollari. Questa relazione inversa tra i prezzi delle obbligazioni e i tassi di interesse può essere tracciata su un grafico, come sopra.
Un’ultima parola
Tieni presente che il termine relazione inversa è usato per descrivere due tipi di associazione. In matematica, si riferisce a una funzione che usa l’intervallo di un’altra funzione come suo dominio. La seconda funzione è quindi l’inverso della prima. Può anche riferirsi all’associazione tra due variabili, dove il valore di una variabile diminuisce (aumenta) quando il valore dell’altra variabile aumenta (diminuisce).