Prima di entrare nelle proprietà dei logaritmi, discutiamo brevemente la relazione tra logaritmi ed esponenti. Il logaritmo di un numero è definito come t la potenza o l’indice a cui una data base deve essere elevata per ottenere il numero.
Posto che, ax = M; dove a e M è maggiore di zero e a ≠ 1, allora, possiamo rappresentare simbolicamente questo in forma logaritmica come;
log a M = x
Esempi:
- 2-3= 1/8 ⇔ log 2 (1/8) = -3
- 10-2= 0.01 ⇔ log 1001 = -2
- 26= 64 ⇔ log 2 64 = 6
- 32= 9 ⇔ log 3 9 = 2
- 54= 625 ⇔ log 5 625 = 4
- 70= 1 ⇔ log 7 1 = 0
- 3- 4= 1/34 = 1/81 ⇔ log 3 1/81 = -4
- 10-2= 1/100 = 0.01 ⇔ log 1001 = -2
Proprietà logaritmiche
Le proprietà e le regole dei logaritmi sono utili perché ci permettono di espandere, condensare o risolvere equazioni logaritmiche. È per queste ragioni.
Nella maggior parte dei casi, ti viene detto di memorizzare le regole quando risolvi problemi logaritmici, ma come vengono derivate queste regole.
In questo articolo, vedremo le proprietà e le regole dei logaritmi derivate usando le leggi degli esponenti.
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Proprietà del prodotto dei logaritmi
La regola del prodotto afferma che la moltiplicazione di due o più logaritmi con basi comuni è uguale alla somma dei singoli logaritmi cioèe.
log a (MN) = log a M + log a N
Prova
- Lascia che x = log aM e y = log a
- Convertire ciascuna di queste equazioni nella forma esponenziale.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Moltiplicare i termini esponenziali (M & N):
ax * ay = MN
- Siccome la base è comune, quindi, aggiungere gli esponenti:
a x + y = MN
- Prendendo il log con base ‘a’ su entrambi i lati.
log a (a x + y) = log a (MN)
- Applicando la regola della potenza di un logaritmo.
log a Mn ⇒ n log a M
(x + y) log a a = log a (MN)
(x + y) = log a (MN)
- Ora, sostituiamo i valori di x e y nell’equazione che abbiamo sopra.
log a M + log a N = log a (MN)
Quindi, dimostrato
log a (MN) = log a M + log a N
Esempi:
- log50 + log 2 = log100 = 2
- log 2 (4 x 8) = log 2 (22 x 23) =5
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Proprietà dei logaritmi
Questa regola afferma che il rapporto di due logaritmi con le stesse basi è uguale alla differenza dei logaritmi cioèe.
log a (M/N) = log a M – log a N
Prova
- Lascia che x = log aM e y = log a
- Convertire ciascuna di queste equazioni nella forma esponenziale.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Dividere i termini esponenziali (M & N):
ax / ay = M/N
- Siccome la base è comune, quindi, sottrarre gli esponenti:
a x – y = M/N
- Prendendo log con base ‘a’ su entrambi i lati.
log a (a x – y) = log a (M/N)
- Applicando la regola della potenza del logaritmo su entrambi i lati.
log a Mn ⇒ n log a M
(x – y) log a a = log a (M/N)
(x – y) = log a (M/N)
- Ora, sostituiamo i valori di x e y nell’equazione che abbiamo ottenuto sopra.
log a M – log a N = log a (M/N)
Quindi, dimostrato
log a (M/N) = log a M – log a N
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Proprietà della potenza dei logaritmi
In base alla proprietà della potenza del logaritmo, il log di un numero ‘M’ con esponente ‘n’ è uguale al prodotto dell’esponente con il log di un numero (senza esponente) i.e.
log a M n = n log a M
Prova
- Lascia,
x = log a M
- Riscrivere come equazione esponenziale.
a x = M
- Prendere la potenza ‘n’ su entrambi i lati dell’equazione.
(a x) n = M n
⇒ a xn = M n
- Prendere il log su entrambi i lati dell’equazione con la base a.
log a a xn = log a M n
- log a a xn = log a M n ⇒ xn log a = log a M n ⇒ xn = log a M n
- Ora, sostituire i valori di x e y nell’equazione che abbiamo ottenuto sopra e semplificare.
Sappiamo,
x = log a M
Così,
xn = log a M n ⇒ n log a M = log a M n
Dunque, dimostrato
log a M n = n log a M
Esempi:
log1003 = 3 log100 = 3 x 2 = 6
Proprietà del cambio di base dei logaritmi
Secondo la proprietà del cambio di base del logaritmo, possiamo riscrivere un dato logaritmo come il rapporto di due logaritmi con qualsiasi nuova base. È dato come:
log a M = log b M/ log b N
o
log a M = log b M × log N b
La sua dimostrazione può essere fatta usando la proprietà uno a uno e la regola della potenza per i logaritmi.
Prova
- Esprimere ogni logaritmo in forma esponenziale lasciando;
Lascia,
x = log N M
- Convertirlo in forma esponenziale,
M = N x
- Applicare la proprietà uno a uno.
log b N x = log b M
- Applicare la regola della potenza.
x log b N = log b M
- Isolando x.
x = log b M / log b N
- Sostituendo il valore di x.
log a M = log b M / log b N
o possiamo scriverlo come,
log a M = log b M × log a b
Da qui, provato.
Altre proprietà dei logaritmi includono:
- Il logaritmo di 1 a qualsiasi base finita non zero è zero.
Prova:
log a 1 = 0⟹ a 0=1
- Il logaritmo di qualsiasi numero positivo alla stessa base è uguale a 1.
Prova:
log a a=1 ⟹ a1= a
Esempio:
log 5 15 = log 15/log 5
Domande pratiche
1. Esprimere i seguenti logaritmi come una singola espressione
a. log 5 (x + 2) + log 5 (x – 2)
b. 2log x – log (x -1)
c. 3log 2 (x) + log 2 (y – 2) – 2log a (z)
d. 4 log b (x + 2) – 3log b (x – 5)
e. 2log a (y) + 0,5log a (x + 4)
f. 2ln 8 + 5ln x
2. Espandi i seguenti logaritmi
a. log 2 (4xy5)
b. log(xy/z)
c. log 5 (ab)1/2
d. log 4 (2x)2
e. log 6 (ab)4
3. Risolvi x in log (x – 2) – log (2x – 3) = log 2
4. Scrivi il logaritmo equivalente di log 2 x8.
5. Risolvi x in ciascuna delle seguenti equazioni logaritmiche
a. log 2x = 3
b. log x8 = 3
c. log 3x = 1
d. log3 = 2
e. log4 = 0
f. log (1/x + 1) = 2
g. log x0.0001 = 4
6. Semplificare log a ay
7. Scrivi log b(2x + 1) = 3 in forma esponenziale.
8. Risolvi i seguenti logaritmi senza calcolatrice:
a. log 9 3
b. log 10000
c. ln e7
d. ln 1
e. ln e-3