1. Un segmento di linea retta può essere tracciato unendo due punti qualsiasi.
2. Qualsiasi segmento di linea retta può essere esteso indefinitamente in una linea retta.
3. Dato un qualsiasi segmento di linea retta, si può disegnare un cerchio avente il segmento come raggio e un punto finale come centro.
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.
5. Se si disegnano due linee che ne intersecano una terza in modo tale che la somma degli angoli interni su un lato sia inferiore a due angoli retti, allora le due linee devono inevitabilmente intersecarsi su quel lato se estese abbastanza. Questo postulato è equivalente al cosiddetto postulato delle parallele.
Il quinto postulato di Euclide non può essere dimostrato come un teorema, anche se questo è stato tentato da molte persone. Euclide stesso usò solo i primi quattro postulati (“geometria assoluta”) per le prime 28 proposizioni degli Elementi, ma fu costretto a invocare il postulato della parallela alla 29a. Nel 1823, Janos Bolyai e Nicolai Lobachevsky si resero conto indipendentemente che si potevano creare “geometrie non euclidee” completamente autoconsistenti in cui il postulato parallelo non reggeva. (Gauss aveva anche scoperto ma soppresso l’esistenza di geometrie non euclidee.)