“Lavoro = forza × distanza” è un principio standard della fisica che ricorre anche in tutti i libri di testo standard di calcolo sotto forma di integrale 
. Sfortunatamente, i libri di testo standard non ti dicono mai perché il lavoro è la forza per la distanza. Il Calcolo di Stewart, per esempio, ha un’intera sezione sul “Lavoro” nel capitolo sulle “Applicazioni dell’integrazione”. Ci sono dozzine di esercizi in cui ci viene chiesto di calcolare il “lavoro” coinvolto in questo o quello scenario fisico. Ci si aspetta che inseriamo doverosamente dei numeri nelle formule e otteniamo altri numeri come robot obbedienti, ma perché? Qual è lo scopo di tutti questi numeri? Perché qualcuno dovrebbe voler calcolare il “lavoro” così definito, e cosa ci dice realmente? Non viene data alcuna giustificazione. Questa è semplicemente “la definizione” del lavoro, e non si può “provare una definizione”, così sembra andare il ragionamento. Così il semplice fatto che una certa quantità sia definita è preso come motivazione sufficiente per calcolarla in un mucchio di casi. Presumibilmente, si lascia dedurre allo studente, questo senso tecnico della parola “lavoro” dovrebbe avere una qualche relazione con il senso quotidiano della parola, che sembra anche vagamente applicabile negli esempi, dato che di solito riguardano lo spostamento meccanico di cose. Tuttavia, perché dovrebbe essere “forza per la distanza” invece di, diciamo, “forza per il tempo” o “forza al quadrato per la distanza” o qualsiasi altra cosa non è chiaro. Inoltre, l’unità di “lavoro” viene fuori come Joule, si nota, che altrove nel libro è preso come unità di energia. Quindi apparentemente il “lavoro” è legato (o è?) all’energia? Ma questa misteriosa connessione non viene spiegata. Come vediamo, lo studente sarà lasciato con più domande che risposte non appena cercherà di andare anche solo un po’ sotto la superficie. Il messaggio è chiaro: questo non è un posto per pensare; questo libro serve per inserire numeri in formule come una scimmia da circo che fa trucchi per una banana. Se dobbiamo parlare di “lavoro” non lo introduciamo per decreto autoritario (“questa è l’equazione, ora vai a inserire i numeri!”). Invece vi mostreremo come voi stessi potete arrivare alla nozione di lavoro attraverso una linea naturale di ragionamento usando la vostra intuizione e comprensione fisica. Quello che segue è un estratto dal mio libro di testo di calcolo che mostra come questo può essere fatto.
Un oggetto di massa 
ad un’altezza non troppo grande 
sopra la superficie della terra ha un’energia potenziale di 
. Questo significa che potremmo, potenzialmente, fargli fare tanto lavoro per noi. Si può pensare ad esempio ad una ruota ad acqua azionata da una cascata: questo dispositivo sfrutta l’energia potenziale immagazzinata nell’acqua in virtù della sua altezza, e la sfrutta per qualche altro scopo. Pensando in termini di ruote idrauliche, è facile capire perché l’energia potenziale è proporzionale alla massa e all’altezza. Perché se l’altezza è doppia, si può far passare l’acqua attraverso il doppio delle ruote nel suo percorso verso il basso, quindi si ottiene il doppio del lavoro. E se la massa è doppia si può dividerla a metà e far passare ogni parte attraverso le ruote dell’acqua separatamente, il che rende chiaro che si ottiene il doppio del lavoro anche in questo caso. Con lo stesso argomento otteniamo la relazione generale lavoro = forza × distanza che può essere presa come definizione formale del lavoro, come sopra.
L’energia potenziale è l’energia in virtù della posizione; l’energia cinetica è l’energia in virtù della velocità. L’acqua può muovere una ruota idraulica non solo cadendo da una certa altezza (energia potenziale) ma anche scorrendo in una corrente ad una certa velocità (energia cinetica). Ora vi dimostrerò che come l’energia potenziale si misura con , così l’energia cinetica si misura con 
. Prima voglio chiarire che l’energia cinetica è “lavoro immagazzinato”. Immaginatevi di spingere un carro lungo un binario ferroviario. Quando avete finito di spingere e lasciate andare il carro, tutto il lavoro che ci avete messo è ora “immagazzinato” nel carro sotto forma di energia cinetica. Possiamo tirarla fuori di nuovo, per esempio, con il nostro metodo prototipo delle ruote ad acqua, che potremmo far girare il carro mentre le colpisce lungo il suo percorso. L’esperienza mostra che ci vuole lo stesso sforzo per fermare il carro che per metterlo in movimento, quindi è chiaro che la quantità di lavoro immagazzinata nel carro è la stessa che ci si mette dentro.
Quando si spinge il carro per farlo muovere si applica una certa forza su una certa distanza. Il prodotto dei due è il lavoro che fate, abbiamo visto sopra. Questa, quindi, è una misura dell’energia cinetica, ma non molto bella. L’energia cinetica è abbastanza chiaramente intrinseca al carro in movimento, quindi è scomodo caratterizzarla in termini dell’azione dell’operaio che l’ha messo in movimento e della lunghezza della rincorsa che ha usato. Preferiremmo di gran lunga esprimerla in termini di massa e velocità del carro. Ma questo è facile da fare, perché sappiamo che forza = massa × accelerazione, distanza = velocità media × tempo. “Distanza” qui significa la lunghezza della vostra rincorsa prima di rilasciare il carro, e “tempo” quanto tempo avete impiegato per completarla. Diciamo che spingi con la stessa forza per tutto il tempo, in modo che la forza, e quindi l’accelerazione, sia costante.
Esercizio. Concludere da questo che l’energia cinetica è .
Le due forme di energia che abbiamo studiato sono chiaramente intercambiabili: quando un oggetto cade “scambia” energia potenziale per cinetica, e viceversa quando la sua velocità è diretta verso l’alto. Per mezzo di alcune rampe potremmo trasformare una caduta d’acqua in un ruscello e viceversa, quindi ci piacerebbe sapere quale delle due forme di energia è migliore per azionare le ruote idrauliche. Ma il risultato è lo stesso. L’economia della natura è tale che il tasso di scambio in questo tipo di transazioni è uno a uno. L’energia si conserva. Questo è d’accordo con l’esperienza, ma possiamo anche provarlo formalmente.
Esercizio. Dimostrate, prendendo la derivata del tempo, che l’energia totale 
è costante per un oggetto in caduta libera.
Un altro modo utile per stabilire questo tipo di risultato è dimostrare che se non fosse valido si potrebbe sfruttare la discrepanza per costruire una macchina a moto perpetuo che potrebbe creare energia dal nulla, cosa che è nota per essere impossibile o almeno un punto su cui saremmo molto piacevolmente sorpresi di essere smentiti.
Esercizio. Argomentare su tali basi che è costante.