Una conversione di sistema di coordinate è una conversione da un sistema di coordinate a un altro, con entrambi i sistemi di coordinate basati sullo stesso datum geodetico. I compiti comuni di conversione includono la conversione tra coordinate geodetiche ed ECEF e la conversione da un tipo di proiezione cartografica a un altro.
Da coordinate geodetiche a coordinate ECEFModifica
. La lunghezza IQ è uguale a e 2 N ( ϕ ) {\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}
.
Coordinate geodetiche (latitudine ϕ {displaystyle \\phi }
, longitudine λ {displaystyle \lambda }
, altezza h {\displaystyle h}
) può essere convertito in coordinate ECEF utilizzando la seguente equazione: X = ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ cos λ Y = ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ sin λ Z = ( b 2 a 2 N ( ϕ ) + h ) sin ϕ {displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos Y&=sinistra(N(\fi )+destra)cos {\fi )+destra)\così {\fi )+sin {lambda &===sinistra({frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\destra)\sin {\lambda)\fine{aligned}}}
dove
N ( ϕ ) = a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ = a 1 – e 2 sin 2 ϕ , {displaystyle N(\phi )={frac {a^{2}}{sqrt {a^{2}cos ^{2}\phi +b^{2}sin ^{2}}}={frac {a}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}\phi}},}
e a {displaystyle a}
e b {displaystyle b}
sono il raggio equatoriale (semiasse maggiore) e il raggio polare (semiasse minore), rispettivamente. e 2 = 1 – b 2 a 2 {displaystyle e^{2}=1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}
è il quadrato della prima eccentricità numerica dell’ellissoide. Il raggio di curvatura verticale primo N ( ϕ ) {\displaystyle \,N(\phi )}
è la distanza dalla superficie all’asse Z lungo la normale dell’ellissoide (vedi “Raggio di curvatura sulla Terra”).
La seguente equazione vale per la longitudine come nel sistema di coordinate geocentriche:
X cos λ – Y sin λ = 0. {displaystyle {frac {X}{cos \lambda}-{frac {Y}{sin \lambda}=0.}
E la seguente equazione vale per la latitudine:
p cos ϕ – Z sin ϕ – e 2 N ( ϕ ) = 0 , {displaystyle {\frac {p}{cos \phi }-{frac {Z}{sin \phi }-e^{2}N(\phi )=0,
dove p = X 2 + Y 2 {displaystyle p={sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
, come il parametro h {displaystyle h}
viene eliminato sottraendo p cos ϕ = N + h {displaystyle {frac {p}{cos \phi }=N+h}
e
Z sin ϕ = b 2 a 2 N + h . {displaystyle {Z}{sin \phi}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}
L’ortogonalità delle coordinate è confermata tramite differenziazione:
( d X d Y d Z ) = ( – sin λ – sin ϕ cos λ cos ϕ cos λ cos λ – sin ϕ sin λ cos ϕ sin λ 0 cos ϕ sin ϕ ) ( d E d N d U ) , ( d E d N d U ) = ( ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ 0 0 0 M ( ϕ ) + h 0 0 0 1 ) ( d λ d ϕ d h ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &- \sin \phi \cos \lambda & \cos \phi \cos \lambda \cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda & \cos \phi \sin \lambda \0& \cos \punti &sin \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti \punti\\{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &&&M(\phi )+h&&&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\fine{aligned}}}
dove
M ( ϕ ) = a ( 1 – e 2 ) ( 1 – e 2 sin 2 ϕ ) 3 2 {\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}destra)}{\frac { 1-e^{2}{sin ^{2}\phi \destra)^{\frac {3}{2}}}}}
(vedi anche “Arco meridiano sull’ellissoide”).
Da coordinate ECEF a coordinate geodeticheModifica
La conversione delle coordinate ECEF in coordinate geodetiche (tipo WGS84) è la stessa di quella geocentrica per la longitudine:
λ = arctan Y X {\displaystyle \lambda =\arctan {\frac {Y}{X}}}
.
La conversione per la latitudine implica un calcolo un po’ complicato ed è nota per essere risolta utilizzando diversi metodi mostrati di seguito. Tuttavia, è sensibile ad una piccola precisione dovuta a R n {displaystyle Rn}
e h {displaystyle h}
essendo forse 106 a parte.
Metodo Newton-RaphsonModifica
La seguente equazione irrazionale della latitudine geodetica di Bowring è efficiente per essere risolta con il metodo di iterazione Newton-Raphson:
κ – 1 – e 2 a κ p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ 2 = 0 , {\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{sqrt {p^{2}+sinistra(1-e^{2}destra)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}
dove κ = p Z tan ϕ . {\frac {p}{p}{Z}{tan \phi .}
L’altezza si calcola come: h = e – 2 ( κ – 1 – κ 0 – 1 ) p 2 + Z 2 κ 2 , κ 0 = ( 1 – e 2 ) – 1 . {\displaystyle {begin{aligned}h&=e^{-2}}left(\kappa ^{-1}-{kappa _{0}}^{-1}}right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}
L’iterazione può essere trasformata nel seguente calcolo:
κ i + 1 = c i + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 3 c i – p 2 = 1 + p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 3 c i – p 2 , {\displaystyle \kappa _{i+1}={frac {c_i}+sinistra(1-e^{2}destra)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+sinistra(1-e^{2}destra)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}
dove c i = ( p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 2 ) 3 2 a e 2 . {\displaystyle c_{i}={\frac {\frac {\frac {p^{2}+{{1-e^{2}}destra)Z^{2}kappa _{i}^{2}destra)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}.}
La costante κ 0 {displaystyle \,\kappa _{0}}
è un buon valore iniziale per l’iterazione quando h ≈ 0 {displaystyle h\approx 0}
. Bowring ha dimostrato che la singola iterazione produce una soluzione sufficientemente accurata. Ha usato funzioni trigonometriche extra nella sua formulazione originale.
La soluzione di FerrariEdit
L’equazione quartica di κ {displaystyle \kappa }
, derivata da quanto sopra, può essere risolta dalla soluzione di Ferrari per produrre: ζ = ( 1 – e 2 ) z 2 a 2 , ρ = 1 6 ( p 2 a 2 + ζ – e 4 ) , s = e 4 ζ p 2 4 ρ 3 a 2 , t = 1 + s + s ( s + 2 ) 3 , u = ρ ( t + 1 + 1 t ) , v = u 2 + e 4 ζ , w = e 2 u + v – ζ 2 v , κ = 1 + e 2 u + v + w 2 + w u + v . {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\sinistra(1-e^{2}destra){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\rho &={frac {1}{6}}}sinistra({frac {p^{2}}{a^{2}}+zeta -e^{4}}destra),\\s&={frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\t&={\sqrt{1+s+{sqrt {s(s+2)}}}},\u&=\rho \sinistra(t+1+{frac {1}{t}}destra),\v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}}zeta},\\
=e^{2}{frac {u+v-\zeta }{2v},\akappa &=1+e^{2}{frac {u+v+w^{2}}+w}{u+v}.\end{aligned}}}
L’applicazione della soluzione di FerrariEdit
Sono disponibili diverse tecniche e algoritmi ma il più accurato, secondo Zhu, è la seguente procedura stabilita da Heikkinen, come citato da Zhu. Si assume che i parametri geodetici { a , b , e } a, b, b, e, e.
sono noti r = X 2 + Y 2 e ′ 2 = a 2 – b 2 b 2 F = 54 b 2 Z 2 G = r 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 – e 2 ( a 2 – b 2 ) c = e 4 F r 2 G 3 s = 1 + c + c 2 + 2 c 3 P = F 3 ( s + 1 + 1 s ) 2 G 2 Q = 1 + 2 e 4 P r 0 = – P e 2 r 1 + Q + 1 2 a 2 ( 1 + 1 Q ) – P ( 1 – e 2 ) Z 2 Q ( 1 + Q ) – 1 2 P r 2 U = ( r – e 2 r 0 ) 2 + Z 2 V = ( r – e 2 r 0 ) 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 z 0 = b 2 Z a V h = U ( 1 – b 2 a V ) ϕ = arctan λ = arctan2 {displaystyle {\begin{aligned}r&={{sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}e’^{2}&={frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\F&=54b^{2}Z^{2}\\G&=r^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\c&={\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\s&={\sqrt{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\P&={frac {F}{3\sinistra(s+1+{frac {1}{s}}destra)^{2}G^{2}}}}Q&={sqrt {1+2e^{4}P}_{0}&={{frac {1}^{4}}Pe^{2}r}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}}{\left(1+{\frac {1}{Q}}{right)}}-{\frac {P^{2}r}{1}{1}{2}}{1}{Q}}{1}{2}r}{1}{2}r}{1}{1}{2}r}{1}{2}r}{1}{2}r}{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\U&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\V&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\h&=U\left(1-&==U{\}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV}{aV \end{aligned}}}
Nota: arctan2 è la funzione tangente inversa a quattro quadranti.
Serie di potenzaModifica
Per piccoli e2 la serie di potenza
κ = ∑ i ≥ 0 α i e 2 i {\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}}alpha _{i}e^{2i}}
inizia con
α 0 = 1 ; α 1 = a Z 2 + p 2 ; α 2 = a Z 2 Z 2 + p 2 + 2 a 2 p 2 2 ( Z 2 + p 2 ) 2 . {\displaystyle {{begin{aligned}{alpha _{0}&=1;\alpha _{1}&={frac {a}{sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}
Da/per coordinate ENU
La conversione da coordinate geodetiche a coordinate ENU locali è un processo in due fasi:
- Convertire le coordinate geodetiche in coordinate ECEF
- Convertire le coordinate ECEF in coordinate locali ENU
Da ECEF a ENUEdit
Per trasformare le coordinate ECEF in coordinate locali abbiamo bisogno di un punto di riferimento locale, tipicamente questo potrebbe essere la posizione di un radar. Se un radar si trova a { X r , Y r , Z r } {\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}
e un aereo a { X p , Y p , Z p } {\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}
allora il vettore che punta dal radar all’aereo nel quadro ENU è = {displaystyle {begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}={begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}& {\i}cos \lambda _{r}&0\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _r}sin \lambda _{r}& \cos \phi _r} \cos \phi _{r} \lambda _{r}&& {sin \phi _{r} fine{bmatrix}}{begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}
Note: ϕ {displaystyle \\phi }
è la latitudine geodetica. Una versione precedente di questa pagina mostrava l’uso della latitudine geocentrica ( ϕ ′ {displaystyle \ \ \phi ^{prime }}
). La latitudine geocentrica non è la direzione verso l’alto appropriata per il piano tangente locale. Se la latitudine geodetica originale è disponibile dovrebbe essere usata, altrimenti, la relazione tra latitudine geodetica e geocentrica ha una dipendenza dall’altitudine, ed è catturata da: tan ϕ ′ = Z r X r 2 + Y r 2 = N ( ϕ ) ( 1 – f ) 2 + h N ( ϕ ) + h tan ϕ {displaystyle \tan \phi ^{\prime }={\frac {Z_{r}}{\sqrt {X_{r}^{2}+Y_{r}^{2}}}}={\frac {N(\phi )(1-f)^{2}+h}{N(\phi )+h}}{tan \phi }
Ottenere la latitudine geodetica dalle coordinate geocentriche da questa relazione richiede un approccio di soluzione iterativa, altrimenti le coordinate geodetiche possono essere calcolate attraverso l’approccio nella sezione precedente etichettata “Da ECEF a coordinate geodetiche.”
La longitudine geocentrica e quella geodetica hanno lo stesso valore. Questo è vero per la Terra e altri pianeti di forma simile perché le loro linee di latitudine (paralleli) possono essere considerate in cerchi perfetti molto più gradi rispetto alle loro linee di longitudine (meridiani).
tan λ = Y r X r {\displaystyle \tan \lambda ={\frac {Y_{r}}{X_{r}}}}
Nota: determinazione univoca di ϕ {displaystyle \\phi }
e λ {displaystyle \lambda }
richiede la conoscenza di quale quadrante si trovano le coordinate.
Da ENU a ECEFEdit
Questo è solo l’inversione della trasformazione da ECEF a ENU così
= + {displaystyle {begin{bmatrix}X\Y\Z\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}-\sin \lambda &- \sin \phi \cos \lambda & \cos \phi \cos \lambda \cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda & \cos \phi \sin \lambda \0&cos \lambda &\sin \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}
Conversion across map
La conversione di coordinate e posizioni cartografiche tra diverse proiezioni cartografiche riferite allo stesso datum può essere realizzata sia attraverso formule di traduzione diretta da una proiezione all’altra, o convertendo prima da una proiezione A {displaystyle A}
in un sistema di coordinate intermedio, come ECEF, poi convertendo da ECEF alla proiezione B {\displaystyle B}
. Le formule coinvolte possono essere complesse e in alcuni casi, come nella conversione da ECEF a geodetica di cui sopra, la conversione non ha una soluzione in forma chiusa e devono essere utilizzati metodi approssimativi. Riferimenti come il DMA Technical Manual 8358.1 e il documento USGS Map Projections: A Working Manual contengono formule per la conversione delle proiezioni delle mappe. È comune l’uso di programmi per computer per eseguire compiti di conversione delle coordinate, come con il programma GEOTRANS supportato da DoD e NGA.