I condensatori non hanno una “resistenza” stabile come i conduttori. Tuttavia, c’è una precisa relazione matematica tra tensione e corrente per un condensatore, come segue:
La lettera minuscola “i” simboleggia la corrente istantanea, che significa la quantità di corrente in un momento specifico. Questo è in contrasto con la corrente costante o la corrente media (lettera maiuscola “I”) su un periodo di tempo non specificato. L’espressione “dv/dt” è un’espressione presa in prestito dal calcolo, che significa il tasso istantaneo di variazione della tensione nel tempo, o il tasso di variazione della tensione (aumento o diminuzione dei volt al secondo) in un punto specifico nel tempo, lo stesso punto specifico nel tempo a cui si fa riferimento la corrente istantanea. Per qualche ragione, la lettera v è di solito usata per rappresentare la tensione istantanea piuttosto che la lettera e. Tuttavia, non sarebbe sbagliato esprimere il tasso di variazione della tensione istantanea come “de/dt” invece.
In questa equazione, vediamo qualcosa di nuovo per la nostra esperienza finora con i circuiti elettrici: la variabile del tempo. Quando si mettono in relazione le quantità di tensione, corrente e resistenza di un resistore, non importa se abbiamo a che fare con misure prese in un periodo di tempo non specificato (E=IR; V=IR), o in un momento specifico nel tempo (e=ir; v=ir). La stessa formula di base vale, perché il tempo è irrilevante per la tensione, la corrente e la resistenza in un componente come un resistore.
In un condensatore, tuttavia, il tempo è una variabile essenziale, perché la corrente è legata a quanto rapidamente la tensione cambia nel tempo. Per comprendere appieno questo, potrebbero essere necessarie alcune illustrazioni. Supponiamo di collegare un condensatore a una fonte di tensione variabile, costruita con un potenziometro e una batteria:
Se il meccanismo del potenziometro rimane in una sola posizione (il wiper è fermo), il voltmetro collegato attraverso il condensatore registrerà una tensione costante (immutabile), e l’amperometro registrerà 0 ampere. In questo scenario, il tasso istantaneo di variazione della tensione (dv/dt) è uguale a zero, perché la tensione non cambia. L’equazione ci dice che con 0 volt al secondo di cambiamento per un dv/dt, ci devono essere zero correnti istantanee (i). Da un punto di vista fisico, con nessun cambiamento di tensione, non c’è bisogno di alcun movimento di elettroni per aggiungere o sottrarre carica dalle piastre del condensatore, e quindi non ci sarà corrente.
Ora, se la levetta del potenziometro viene mossa lentamente e costantemente in direzione “su”, una tensione maggiore verrà gradualmente imposta attraverso il condensatore. Quindi, l’indicazione del voltmetro aumenterà lentamente:
Se assumiamo che la leva del potenziometro sia mossa in modo tale che il tasso di aumento della tensione sul condensatore sia costante (per esempio, la tensione aumenta a un tasso costante di 2 volt al secondo), il termine dv/dt della formula sarà un valore fisso. Secondo l’equazione, questo valore fisso di dv/dt, moltiplicato per la capacità del condensatore in Farad (anch’essa fissa), risulta in una corrente fissa di una certa entità. Da un punto di vista fisico, una tensione crescente attraverso il condensatore richiede che ci sia un differenziale di carica crescente tra le piastre. Così, per un lento e costante tasso di aumento della tensione, ci deve essere un lento e costante tasso di accumulo di carica nel condensatore, che equivale a un lento e costante flusso di corrente. In questo scenario, il condensatore si sta caricando e agisce come un carico, con la corrente che entra nella piastra positiva ed esce da quella negativa mentre il condensatore accumula energia in un campo elettrico.
Se il potenziometro viene spostato nella stessa direzione, ma ad una velocità maggiore, il tasso di variazione della tensione (dv/dt) sarà maggiore e così la corrente del condensatore:
Quando gli studenti di matematica studiano per la prima volta il calcolo, iniziano ad esplorare il concetto di tasso di variazione per varie funzioni matematiche. La derivata, che è il primo e più elementare principio del calcolo, è un’espressione del tasso di cambiamento di una variabile in termini di un’altra. Gli studenti di calcolo devono imparare questo principio mentre studiano le equazioni astratte. Tu impari questo principio studiando qualcosa con cui puoi relazionarti: i circuiti elettrici!
Per mettere questa relazione tra tensione e corrente in un condensatore in termini di calcolo, la corrente attraverso un condensatore è la derivata della tensione attraverso il condensatore rispetto al tempo. O, detto in termini più semplici, la corrente di un condensatore è direttamente proporzionale alla velocità con cui cambia la tensione che lo attraversa. In questo circuito in cui la tensione del condensatore è impostata dalla posizione di una manopola su un potenziometro, possiamo dire che la corrente del condensatore è direttamente proporzionale a quanto velocemente giriamo la manopola.
Se muovessimo il wiper del potenziometro nella stessa direzione di prima (“su”), ma a velocità variabile, otterremmo dei grafici che assomigliano a questo:
Nota che in qualsiasi momento, la corrente del condensatore è proporzionale al tasso di variazione, o pendenza, del grafico della tensione del condensatore. Quando la linea del grafico della tensione sale rapidamente (pendenza ripida), la corrente sarà altrettanto grande. Dove il grafico della tensione ha una lieve pendenza, la corrente è piccola. In un punto del grafico della tensione in cui si livella (pendenza zero, che rappresenta un periodo di tempo in cui il potenziometro non si muoveva), la corrente cade a zero.
Se muoviamo la levetta del potenziometro in direzione “giù”, la tensione del condensatore diminuirà invece di aumentare. Di nuovo, il condensatore reagirà a questo cambiamento di tensione producendo una corrente, ma questa volta la corrente sarà nella direzione opposta. Una tensione del condensatore in diminuzione richiede che il differenziale di carica tra le piastre del condensatore si riduca, e l’unico modo in cui questo può accadere è se la direzione del flusso di corrente è invertita, con il condensatore che si scarica invece di caricarsi. In questa condizione di scarica, con la corrente che esce dalla piastra positiva ed entra in quella negativa, il condensatore agirà come una fonte, come una batteria, rilasciando la sua energia immagazzinata al resto del circuito.
Ancora una volta, la quantità di corrente attraverso il condensatore è direttamente proporzionale al tasso di variazione della tensione attraverso di esso. L’unica differenza tra gli effetti di una tensione decrescente e una tensione crescente è la direzione del flusso di corrente. Per lo stesso tasso di variazione della tensione nel tempo, sia crescente che decrescente, la grandezza della corrente (ampere) sarà la stessa. Matematicamente, un tasso di variazione della tensione decrescente è espresso come una quantità negativa dv/dt. Seguendo la formula i = C(dv/dt), questo risulterà in una cifra di corrente (i) che è ugualmente di segno negativo, indicando una direzione di flusso corrispondente alla scarica del condensatore.
Foglio di lavoro correlato:
- Foglio di lavoro dei condensatori
- Foglio di lavoro del calcolo dei circuiti elettrici