Caduta libera

Discussione

accelerazione dovuta alla gravità

Vuoi vedere un oggetto accelerare?

• Prendi qualcosa con la mano e fallo cadere. Quando lo rilasci dalla mano, la sua velocità è zero. Durante la caduta la sua velocità aumenta. Più a lungo cade, più velocemente viaggia. Mi sembra un’accelerazione.
• Ma l’accelerazione è più che un semplice aumento di velocità. Prendi questo stesso oggetto e lancialo verticalmente in aria. Durante la salita la sua velocità diminuirà fino a quando si fermerà e invertirà la direzione. Anche la diminuzione della velocità è considerata accelerazione.
• Ma l’accelerazione è più di un semplice cambiamento di velocità. Raccogliete il vostro oggetto malconcio e lanciatelo un’ultima volta. Questa volta lancialo orizzontalmente e nota come la sua velocità orizzontale diventa gradualmente sempre più verticale. Poiché l’accelerazione è il tasso di cambiamento della velocità con il tempo e la velocità è una quantità vettoriale, anche questo cambiamento di direzione è considerato accelerazione.

In ognuno di questi esempi l’accelerazione era il risultato della gravità. Il tuo oggetto stava accelerando perché la gravità lo stava tirando giù. Anche l’oggetto lanciato in alto sta cadendo – e comincia a cadere nel momento in cui lascia la tua mano. Se non fosse così, avrebbe continuato ad allontanarsi da te in linea retta. Questa è l’accelerazione dovuta alla gravità.

Quali sono i fattori che influenzano questa accelerazione dovuta alla gravità? Se si dovesse chiedere questo a una persona tipica, molto probabilmente direbbe “peso”, intendendo in realtà “massa” (più avanti su questo). Cioè, gli oggetti pesanti cadono velocemente e gli oggetti leggeri cadono lentamente. Anche se questo può sembrare vero a prima vista, non risponde alla mia domanda originale. “Quali sono i fattori che influenzano l’accelerazione dovuta alla gravità?” La massa non influenza l’accelerazione dovuta alla gravità in nessun modo misurabile. Le due quantità sono indipendenti l’una dall’altra. Gli oggetti leggeri accelerano più lentamente di quelli pesanti solo quando agiscono anche forze diverse dalla gravità. Quando questo accade, un oggetto può cadere, ma non è in caduta libera. La caduta libera si verifica quando un oggetto è soggetto alla sola forza di gravità.

Prova questo esperimento.

• Prendi un pezzo di carta e una matita. Tienili alla stessa altezza sopra una superficie piana e lasciali cadere simultaneamente. L’accelerazione della matita è notevolmente maggiore dell’accelerazione del pezzo di carta, che fluttua e va alla deriva mentre scende.

Qualcos’altro si mette in mezzo qui – e questa cosa è la resistenza dell’aria (nota anche come resistenza aerodinamica). Se potessimo in qualche modo ridurre questa resistenza, avremmo un vero esperimento. Nessun problema.

• Ripeti l’esperimento, ma prima di iniziare, avvolgi il pezzo di carta nella palla più stretta possibile. Ora, quando la carta e la matita vengono rilasciate, dovrebbe essere ovvio che le loro accelerazioni sono identiche (o almeno più simili di prima).

Ci stiamo avvicinando all’essenza di questo problema. Se solo in qualche modo potessimo eliminare del tutto la resistenza dell’aria. L’unico modo per farlo è far cadere gli oggetti nel vuoto. È possibile farlo in classe con una pompa a vuoto e una colonna d’aria sigillata. In queste condizioni, si può dimostrare che una moneta e una piuma accelerano alla stessa velocità. (Ai vecchi tempi in Gran Bretagna si usava una moneta chiamata “guinea” e quindi questa dimostrazione è talvolta chiamata “guinea e piuma”). Una dimostrazione più drammatica è stata fatta sulla superficie della luna – che è la cosa più vicina a un vero vuoto che gli esseri umani probabilmente sperimenteranno presto. L’astronauta David Scott ha rilasciato un martello da roccia e una piuma di falco allo stesso tempo durante la missione lunare Apollo 15 nel 1971. In accordo con la teoria che sto per presentare, i due oggetti atterrarono sulla superficie lunare simultaneamente (o quasi). Solo un oggetto in caduta libera sperimenterà un’accelerazione pura dovuta alla gravità.

La torre pendente di Pisa

Facciamo un salto indietro nel tempo. Nel mondo occidentale prima del 16° secolo, si presumeva generalmente che l’accelerazione di un corpo in caduta fosse proporzionale alla sua massa – cioè, ci si aspettava che un oggetto di 10 kg accelerasse dieci volte più velocemente di un oggetto di 1 kg. L’antico filosofo greco Aristotele di Stagira (384-322 a.C.), incluse questa regola in quello che fu forse il primo libro di meccanica. Era un’opera immensamente popolare tra gli accademici e nel corso dei secoli aveva acquisito una certa devozione che rasentava il religioso. Fu solo con l’arrivo dello scienziato italiano Galileo Galilei (1564-1642) che qualcuno mise alla prova le teorie di Aristotele. A differenza di tutti gli altri fino a quel momento, Galileo cercò effettivamente di verificare le sue teorie attraverso la sperimentazione e l’attenta osservazione. Poi combinò i risultati di questi esperimenti con l’analisi matematica in un metodo che era totalmente nuovo all’epoca, ma che ora è generalmente riconosciuto come il modo in cui la scienza viene fatta. Per l’invenzione di questo metodo, Galileo è generalmente considerato il primo scienziato del mondo.

In una storia che potrebbe essere apocrifa, Galileo (o un assistente, più probabilmente) fece cadere due oggetti di massa disuguale dalla Torre pendente di Pisa. Contrariamente agli insegnamenti di Aristotele, i due oggetti colpirono il suolo simultaneamente (o quasi). Data la velocità con cui una tale caduta sarebbe avvenuta, è dubbio che Galileo avrebbe potuto estrarre molte informazioni da questo esperimento. La maggior parte delle sue osservazioni di corpi in caduta erano in realtà di oggetti rotondi che rotolavano giù per le rampe. Questo rallentò abbastanza le cose al punto che fu in grado di misurare gli intervalli di tempo con orologi ad acqua e il suo stesso impulso (i cronometri e i fotogrammi non erano ancora stati inventati). Questo ripeté “un centinaio di volte” fino a raggiungere “una precisione tale che la deviazione tra due osservazioni non superava mai un decimo di battito d’impulso”

Con risultati del genere, si potrebbe pensare che le università d’Europa avrebbero conferito a Galileo la loro massima onorificenza, ma non fu così. I professori dell’epoca erano inorriditi dai metodi relativamente volgari di Galileo, arrivando persino a rifiutare di riconoscere ciò che chiunque poteva vedere con i propri occhi. Con una mossa che qualsiasi persona pensante troverebbe ora ridicola, il metodo di osservazione controllata di Galileo fu considerato inferiore alla pura ragione. Immaginate! Potrei dire che il cielo è verde e se presentassi un’argomentazione migliore di quella di chiunque altro, sarebbe accettata come un fatto contrario all’osservazione di quasi tutte le persone vedenti del pianeta.

Galileo chiamò il suo metodo “nuovo” e scrisse un libro intitolato Discorsi su due nuove scienze in cui usava la combinazione di osservazione sperimentale e ragionamento matematico per spiegare cose come il moto unidimensionale con accelerazione costante, l’accelerazione dovuta alla gravità, il comportamento dei proiettili, la velocità della luce, la natura dell’infinito, la fisica della musica e la forza dei materiali. Le sue conclusioni sull’accelerazione dovuta alla gravità erano che…

la variazione di velocità nell’aria tra palle d’oro, piombo, rame, porfido e altri materiali pesanti è così piccola che in una caduta di 100 cubiti una palla d’oro non supererebbe sicuramente una di rame di quattro dita. Avendo osservato questo, sono giunto alla conclusione che in un mezzo totalmente privo di resistenza tutti i corpi cadrebbero con la stessa velocità.

Perché penso che nessuno creda che nuotare o volare possa essere compiuto in un modo più semplice o più facile di quello istintivamente impiegato da pesci e uccelli. Quando dunque osservo un sasso inizialmente fermo cadere da una posizione elevata e acquisire continuamente nuovi incrementi di velocità, perché non dovrei credere che tali incrementi avvengano in un modo estremamente semplice e piuttosto ovvio per tutti?

Dubito fortemente che Aristotele abbia mai fatto delle prove sperimentali.

Galileo Galilei, 1638

Nonostante quest’ultima citazione, Galileo non era immune dall’usare la ragione come mezzo per convalidare la sua ipotesi. In sostanza, la sua argomentazione era la seguente. Immaginate due rocce, una grande e una piccola. Poiché sono di massa disuguale, accelereranno a tassi diversi – la roccia grande accelererà più velocemente di quella piccola. Ora mettete il sasso piccolo sopra il sasso grande. Cosa succederà? Secondo Aristotele, il sasso grande si allontanerà dal sasso piccolo. E se invertiamo l’ordine e mettiamo il sasso piccolo sotto il sasso grande? Sembra che dovremmo ragionare sul fatto che due oggetti insieme dovrebbero avere un’accelerazione inferiore. Il sasso piccolo si metterebbe in mezzo e rallenterebbe il sasso grande. Ma due oggetti insieme sono più pesanti di uno dei due da soli e quindi dovremmo anche ragionare che avranno un’accelerazione maggiore. Questa è una contraddizione.

Ecco un altro problema di pensiero. Prendiamo due oggetti di massa uguale. Secondo Aristotele, dovrebbero accelerare alla stessa velocità. Ora legateli insieme con un leggero pezzo di corda. Insieme, dovrebbero avere il doppio della loro accelerazione originale. Ma come fanno a sapere di fare questo? Come fanno gli oggetti inanimati a sapere che sono collegati? Estendiamo il problema. Ogni oggetto pesante non è semplicemente un assemblaggio di parti più leggere attaccate insieme? Come può un insieme di parti leggere, ognuna delle quali si muove con una piccola accelerazione, accelerare improvvisamente e rapidamente una volta unite? Abbiamo messo Aristotele in un angolo. L’accelerazione dovuta alla gravità è indipendente dalla massa.

Galileo fece un sacco di misurazioni relative all’accelerazione dovuta alla gravità ma non ne calcolò mai il valore (o se lo fece, non l’ho mai visto riportato da nessuna parte). Invece ha dichiarato le sue scoperte come un insieme di proporzioni e relazioni geometriche – molte. La sua descrizione della velocità costante richiedeva una definizione, quattro assiomi e sei teoremi. Tutte queste relazioni possono ora essere scritte come un’unica equazione nella notazione moderna.

v =	∆s
	∆t

I simboli algebrici possono contenere tante informazioni quanto diverse frasi di testo, ed è per questo che vengono usati. Contrariamente alla saggezza comune, la matematica rende la vita più facile.

posizione, posizione, posizione

Il valore generalmente accettato per l’accelerazione dovuta alla gravità sulla e vicino alla superficie della Terra è…

g = 9.8 m/s2

o in unità non-SI…

g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 piedi/s2

È utile memorizzare questo numero (come hanno già fatto milioni di persone in tutto il mondo), tuttavia, bisogna anche sottolineare che questo numero non è una costante. Anche se la massa non ha alcun effetto sull’accelerazione dovuta alla gravità, ci sono tre fattori che lo fanno. Sono la posizione, la posizione, la posizione.

Tutti quelli che stanno leggendo dovrebbero avere familiarità con le immagini degli astronauti che saltellano sulla luna e dovrebbero sapere che la gravità lì è più debole di quella della Terra – circa un sesto della forza, ovvero 1,6 m/s2. Ecco perché gli astronauti sono stati in grado di saltellare facilmente sulla superficie nonostante il peso delle loro tute spaziali. Al contrario, la gravità su Giove è più forte che sulla Terra – circa due volte e mezzo più forte o 25 m/s2. Gli astronauti che attraversano la parte superiore della spessa atmosfera di Giove si troverebbero a lottare per stare in piedi all’interno della loro nave spaziale.

Sulla Terra, la gravità varia con la latitudine e l’altitudine (da discutere in un capitolo successivo). L’accelerazione dovuta alla gravità è maggiore ai poli che all’equatore e maggiore al livello del mare che in cima al monte Everest. Ci sono anche variazioni locali che dipendono dalla geologia. Il valore di 9,8 m/s2 – con solo due cifre significative – è vero per tutti i luoghi sulla superficie della Terra e vale per altitudini fino a +10 km (l’altitudine degli aerei a reazione commerciali) e profondità fino a -20 km (molto al di sotto delle miniere più profonde).

Quanto sei pazzo per la precisione? Per la maggior parte delle applicazioni, il valore di 9,8 m/s2 è più che sufficiente. Se hai fretta, o non hai accesso a una calcolatrice, o semplicemente non hai bisogno di essere così preciso; arrotondare g sulla Terra a 10 m/s2 è spesso accettabile. Durante un esame a scelta multipla dove le calcolatrici non sono permesse, questo è spesso il modo di procedere. Se avete bisogno di una maggiore precisione, consultate un’opera di riferimento completa per trovare il valore accettato per la vostra latitudine e altitudine.

Ingrandisci

Se questo non è abbastanza, allora procuratevi gli strumenti necessari e misurate il valore locale con quante più cifre significative potete. Potreste imparare qualcosa di interessante sulla vostra posizione. Una volta ho incontrato un geologo il cui lavoro era quello di misurare g in una parte dell’Africa occidentale. Quando gli chiesi per chi lavorasse e perché lo facesse, si rifiutò praticamente di rispondere se non per dire che si poteva dedurre la struttura interna della Terra da una mappa gravimetrica preparata dai suoi risultati. Sapendo questo, si potrebbe poi essere in grado di identificare le strutture dove si potrebbero trovare minerali di valore o petrolio.

Come tutte le professioni, coloro che si occupano di misurazione della gravità (gravimetria) hanno il loro gergo speciale. L’unità SI dell’accelerazione è il metro al secondo quadrato. Dividendolo in cento parti si ottiene il centimetro al secondo quadrato, noto anche come gal in onore di Galileo. Si noti che la parola per l’unità è tutta minuscola, ma il simbolo è maiuscolo. Il gal è un esempio di unità gaussiana.

001 Gal = 1 cm/s2 = 0,01 m/s2
100 Gal = 100 cm/s2 = 1 m/s2.

Dividere un gal in mille parti e si ottiene un milligal.

1 mGal = 0,001 Gal = 10-5 m/s2

Siccome la gravità della Terra produce un’accelerazione superficiale di circa 10 m/s2, un milligal è circa 1 milionesimo del valore a cui siamo tutti abituati.

1 g ≈ 10 m/s2 = 1.000 Gal = 1.000.000 mGal

Misure con questa precisione possono essere usate per studiare i cambiamenti della crosta terrestre, il livello del mare, le correnti oceaniche, i ghiacci polari e le acque sotterranee. Spingendo un po’ più in là, è anche possibile misurare i cambiamenti nella distribuzione della massa nell’atmosfera. La gravità è un argomento pesante che sarà discusso più in dettaglio più avanti in questo libro.

Gee, Wally

Non confondere il fenomeno dell’accelerazione dovuta alla gravità con l’unità di nome simile. La quantità g ha un valore che dipende dal luogo ed è approssimativamente…

g = 9,8 m/s2

quasi ovunque sulla superficie della Terra. L’unità g ha il valore esatto di…

g = 9,80665 m/s2

per definizione.

Utilizzano anche simboli leggermente diversi. L’unità definita usa il g romano o verticale mentre il fenomeno naturale che varia con il luogo usa il g corsivo o obliquo. Non confondere g con g.

Come detto prima, il valore di 9,8 m/s2 con solo due cifre significative è valido per la maggior parte della superficie della Terra fino all’altitudine degli aerei di linea commerciali, che è il motivo per cui viene usato in questo libro. Il valore di 9,80665 m/s2 con sei cifre significative è la cosiddetta accelerazione standard dovuta alla gravità o gravità standard. È un valore che funziona per latitudini intorno a 45° e altitudini non troppo al di sopra del livello del mare. È approssimativamente il valore dell’accelerazione dovuta alla gravità a Parigi, Francia – la città natale dell’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure. L’idea originale era di stabilire un valore standard per la gravità in modo che le unità di massa, peso e pressione potessero essere correlate – un insieme di definizioni che ora sono obsolete. Il Bureau scelse di far funzionare questa definizione per il luogo in cui si trovava il loro laboratorio. Le vecchie definizioni di unità si sono estinte, ma il valore della gravità standard continua a vivere. Ora è solo un valore concordato per fare confronti. È un valore vicino a quello che sperimentiamo nella nostra vita quotidiana – solo con troppa precisione.

Alcuni libri raccomandano una precisione di compromesso di 9,81 m/s2 con tre cifre significative per i calcoli, ma questo libro no. Nella mia posizione a New York City, l’accelerazione dovuta alla gravità è 9,80 m/s2. Arrotondare la gravità standard a 9,81 m/s2 è sbagliato per la mia posizione. Lo stesso vale per tutta la strada verso sud fino all’equatore dove la gravità è 9,780 m/s2 a livello del mare – 9,81 m/s2 è semplicemente troppo grande. Dirigiti a nord di NYC e la gravità si avvicina sempre di più a 9,81 m/s2 finché alla fine lo è. Questo è ottimo per i canadesi nel Quebec meridionale, ma la gravità continua ad aumentare man mano che ci si dirige più a nord. Al Polo Nord (e anche al Polo Sud) la gravità è un enorme 9,832 m/s2. Il valore 9,806 m/s2 è a metà strada tra questi due estremi, quindi è più o meno vero dire che…

g = 9,806 ± 0,026 m/s2

Questa non è la stessa cosa di una media, però. Per questo, usa questo valore che qualcun altro ha derivato…

g = 9,798 m/s2

Qui ci sono i miei suggerimenti. Usare il valore di 9,8 m/s2 con due cifre significative per i calcoli sulla superficie della Terra, a meno che un valore di gravità non sia specificato diversamente. Mi sembra ragionevole. Usa il valore di 9,80665 m/s2 con sei cifre significative solo quando vuoi convertire m/s2 in g. Questa è la legge.

L’unità g è spesso usata per misurare l’accelerazione di un quadro di riferimento. “Dire cosa?” Questo è un linguaggio tecnico che verrà elaborato più tardi in un’altra sezione di questo libro, ma per ora lo spiegherò con degli esempi. Mentre scrivo questo, sono seduto davanti al mio computer nel mio ufficio a casa. La gravità attira il mio corpo verso il basso nella mia sedia da ufficio, le mie braccia verso la scrivania e le mie dita verso la tastiera. Questo è il normale mondo di 1 g (un gee) a cui siamo tutti abituati. Potrei portare un computer portatile con me in un parco divertimenti, salire sulle montagne russe e provare a scrivere lì. La gravità funziona sulle montagne russe proprio come a casa, ma poiché le montagne russe stanno accelerando su e giù (per non parlare di lato a lato) la sensazione della normale gravità terrestre si perde. Ci saranno momenti in cui mi sentirò più pesante del normale e momenti in cui mi sentirò più leggero del normale. Questi corrispondono a periodi di più di un g e meno di un g. Potrei anche portare il mio portatile con me in un viaggio nello spazio. Dopo un breve periodo di 2 o 3 g (due o tre gees) accelerando lontano dalla superficie della Terra, la maggior parte dei viaggi nello spazio vengono trascorsi in condizioni di apparente assenza di peso o 0 g (zero gee). Questo accade non perché la gravità smetta di funzionare (la gravità ha una portata infinita e non è mai repulsiva), ma perché un veicolo spaziale è un quadro di riferimento in accelerazione. Come ho detto prima, questo concetto sarà discusso più approfonditamente in una sezione successiva di questo libro.