La dimensione di un angolo geometrico è solitamente caratterizzata dalla grandezza della più piccola rotazione che mappa uno dei raggi nell’altro. Gli angoli che hanno la stessa dimensione sono detti uguali o congruenti o uguali nella misura.
In alcuni contesti, come identificare un punto su un cerchio o descrivere l’orientamento di un oggetto in due dimensioni rispetto a un orientamento di riferimento, gli angoli che differiscono di un multiplo esatto di un giro completo sono effettivamente equivalenti. In altri contesti, come l’identificazione di un punto su una curva a spirale o la descrizione della rotazione cumulativa di un oggetto in due dimensioni rispetto a un orientamento di riferimento, gli angoli che differiscono di un multiplo non nullo di un giro completo non sono equivalenti.
Per misurare un angolo θ, si traccia un arco circolare centrato sul vertice dell’angolo, ad esempio con un compasso. Il rapporto tra la lunghezza s dell’arco per il raggio r del cerchio è la misura dell’angolo in radianti.
La misura dell’angolo in un’altra unità angolare si ottiene moltiplicando la sua misura in radianti per il fattore di scala k/2π, dove k è la misura di un giro completo nell’unità scelta (ad esempio 360 per i gradi o 400 per i gradi):
θ = k s 2 π r . {displaystyle \theta =k{frac {s}{2\pi r}.}
Il valore di θ così definito è indipendente dalle dimensioni del cerchio: se si cambia la lunghezza del raggio allora la lunghezza dell’arco cambia nella stessa proporzione, quindi il rapporto s/r è inalterato. (Prova. La formula precedente può essere riscritta come k = θr/s. Un giro, per il quale θ = n unità, corrisponde a un arco di lunghezza pari alla circonferenza del cerchio, che è 2πr, quindi s = 2πr. Sostituendo n per θ e 2πr per s nella formula, si ottiene k = nr/2πr = n/2π).
Postulato dell’addizione degli angoliModifica
Il postulato dell’addizione degli angoli afferma che se B è all’interno dell’angolo AOC, allora
m ∠ A O C = m ∠ A O B + m ∠ B O C {\displaystyle m\angolo AOC=m\angolo AOB+m\angolo BOC}
La misura dell’angolo AOC è la somma della misura dell’angolo AOB e della misura dell’angolo BOC. In questo postulato non importa in quale unità si misura l’angolo, purché ogni angolo sia misurato nella stessa unità.
UnitàModifica
Le unità usate per rappresentare gli angoli sono elencate di seguito in ordine decrescente di grandezza. Di queste unità, il grado e il radiante sono di gran lunga le più usate. Gli angoli espressi in radianti sono privi di dimensione per l’analisi dimensionale.
La maggior parte delle unità di misura angolare sono definite in modo tale che un giro (cioè un cerchio completo) è uguale a n unità, per qualche numero intero n. Le due eccezioni sono il radiante e la parte del diametro.
Giro (n = 1) Il giro, anche ciclo, cerchio completo, rivoluzione e rotazione, è movimento circolare completo o misura (come tornare allo stesso punto) con cerchio o ellisse. Un giro è abbreviato τ, cyc, rev, o rot a seconda dell’applicazione, ma nell’acronimo rpm (revolutions per minute), si usa solo r. Un giro di n unità si ottiene impostando k = 1/2π nella formula precedente. L’equivalenza di 1 giro è 360°, 2π rad, 400 grad, e 4 angoli retti. Il simbolo τ può anche essere usato come costante matematica per rappresentare 2π radianti. Usato in questo modo (k = τ/2π) permette di esprimere i radianti come frazione di un giro. Per esempio, mezzo giro è τ/2 = π. Quadrante (n = 4) Il quadrante è 1/4 di un giro, cioè un angolo retto. È l’unità usata negli Elementi di Euclide. 1 quadrante = 90° = π/2 rad = 1/4 di giro = 100 gradi. In tedesco il simbolo ∟ è stato usato per indicare un quadrante. Sestante (n = 6) Il sestante (angolo del triangolo equilatero) è 1/6 di un giro. Era l’unità usata dai Babilonesi, ed è particolarmente facile da costruire con riga e compasso. Il grado, il minuto d’arco e il secondo d’arco sono subunità sessagesimali dell’unità babilonese. 1 unità babilonese = 60° = π/3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Radiante (n = 2π = 6,283 . . . ) Il radiante è l’angolo sotteso da un arco di cerchio che ha la stessa lunghezza del raggio del cerchio. Il caso del radiante per la formula data prima, un radiante di n = 2π unità si ottiene impostando k = 2π/2π = 1. Un giro è 2π radianti, e un radiante è 180/π gradi, o circa 57,2958 gradi. Il radiante è abbreviato in rad, anche se questo simbolo è spesso omesso nei testi matematici, dove i radianti sono assunti se non diversamente specificato. Quando si usano i radianti gli angoli sono considerati senza dimensione. Il radiante è usato praticamente in tutto il lavoro matematico al di là della semplice geometria pratica, a causa, per esempio, delle proprietà piacevoli e “naturali” che le funzioni trigonometriche mostrano quando i loro argomenti sono in radianti. Il radiante è l’unità (derivata) di misura angolare nel sistema SI. Posizione dell’orologio (n = 12) Una posizione dell’orologio è la direzione relativa di un oggetto descritta usando l’analogia di un orologio a 12 ore. Si immagina un quadrante d’orologio in posizione verticale o piana davanti a sé, e si identificano i segni delle dodici ore con le direzioni in cui puntano. Angolo orario (n = 24) L’angolo orario astronomico è 1/24 di un giro. Siccome questo sistema è adatto a misurare gli oggetti che girano una volta al giorno (come la posizione relativa delle stelle), le sottounità sessagesimali sono chiamate minuto di tempo e secondo di tempo. Questi sono distinti da, e 15 volte più grandi di, minuti e secondi d’arco. 1 ora = 15° = π/12 rad = 1/6 quad. = 1/24 giro = 16+2/3 grad. (Bussola) punto o vento (n = 32) Il punto, usato in navigazione, è 1/32 di un giro. 1 punto = 1/8 di angolo retto = 11,25° = 12,5 gradi. Ogni punto è suddiviso in quattro quarti di punto in modo che 1 giro equivale a 128 quarti di punto. Esacontade (n = 60) L’esacontade è un’unità di 6° che Eratostene usava, in modo che un intero giro fosse diviso in 60 unità. Pechus (n = 144-180) Il pechus era un’unità babilonese pari a circa 2° o 2+1/2°. Grado binario (n = 256) Il grado binario, noto anche come radiante binario (o brad), è 1/256 di un giro. Il grado binario è usato in informatica in modo che un angolo possa essere rappresentato in modo efficiente in un singolo byte (anche se con una precisione limitata). Altre misure di angolo usate nel calcolo possono essere basate sulla divisione di un intero giro in 2n parti uguali per altri valori di n. Grado (n = 360) Il grado, denotato da un piccolo cerchio in apice (°), è 1/360 di un giro, quindi un giro è 360°. Il caso dei gradi per la formula data prima, un grado di n = 360° unità si ottiene impostando k = 360°/2π. Un vantaggio di questa vecchia subunità sessagesimale è che molti angoli comuni nella geometria semplice sono misurati come un numero intero di gradi. Le frazioni di grado possono essere scritte nella normale notazione decimale (ad esempio 3,5° per tre gradi e mezzo), ma le subunità sessagesimali “minuto” e “secondo” del sistema “grado-minuto-secondo” sono anche in uso, soprattutto per le coordinate geografiche e in astronomia e balistica. Parte di diametro (n = 376,99 . . . ) La parte di diametro (usata occasionalmente nella matematica islamica) è 1/60 di radiante. Una “parte di diametro” è circa 0,95493°. Ci sono circa 376,991 parti di diametro per giro. Grad (n = 400) Il grad, chiamato anche grado, gradian o gon, è 1/400 di un giro, quindi un angolo retto è 100 gradi. È una subunità decimale del quadrante. Un chilometro è stato storicamente definito come un centigrado di arco lungo un grande cerchio della Terra, quindi il chilometro è l’analogo decimale del miglio nautico sessagesimale. Il grado è usato soprattutto nella triangolazione. Milliradiano Il milliradiano (mil o mrad) è definito come un millesimo di radiante, il che significa che una rotazione di un giro consiste in 2000π mil (o circa 6283,185… mil), e quasi tutti i mirini per armi da fuoco sono calibrati su questa definizione. Inoltre, ci sono altre tre definizioni derivate usate per l’artiglieria e la navigazione che sono approssimativamente uguali a un milliradiano. Secondo queste tre altre definizioni, un giro corrisponde esattamente a 6000, 6300 o 6400 miglia, il che equivale a coprire la gamma da 0,05625 a 0,06 gradi (da 3,375 a 3,6 minuti). In confronto, il vero milliradiano è circa 0,05729578… gradi (3,43775… minuti). Un “mil NATO” è definito come 1/6400 di un cerchio. Proprio come per il milliradiano vero, ognuna delle altre definizioni sfrutta la comoda proprietà di sottrazione del mil, cioè che il valore di un milliradiano equivale approssimativamente all’angolo sotteso da una larghezza di 1 metro visto da 1 km di distanza (2π/6400 = 0,0009817… ≈ 1/1000). Minuto d’arco (n = 21.600) Il minuto d’arco (o MOA, arcminute, o semplicemente minuto) è 1/60 di un grado = 1/21.600 di giro. È indicato da un singolo primo ( ′ ). Per esempio, 3° 30′ è uguale a 3 × 60 + 30 = 210 minuti o 3 + 30/60 = 3,5 gradi. Un formato misto con frazioni decimali è anche usato a volte, ad esempio 3° 5.72′ = 3 + 5.72/60 gradi. Un miglio nautico è stato storicamente definito come un minuto d’arco lungo un grande cerchio della Terra. Secondo d’arco (n = 1.296.000) Il secondo d’arco (o secondo d’arco, o semplicemente secondo) è 1/60 di un minuto d’arco e 1/3600 di un grado. È indicato da un doppio primo ( ″ ). Per esempio, 3° 7′ 30″ è uguale a 3 + 7/60 + 30/3600 gradi, o 3,125 gradi. Milliarcsecondo (n = 1.296.000.000) mas Microarcsecondo (n = 1.296.000.000.000) µas
Angoli positivi e negativiModifica
Anche se la definizione della misura di un angolo non supporta il concetto di angolo negativo, è spesso utile imporre una convenzione che permette valori angolari positivi e negativi per rappresentare orientamenti e/o rotazioni in direzioni opposte rispetto a qualche riferimento.
In un sistema di coordinate cartesiane bidimensionali, un angolo è tipicamente definito dai suoi due lati, con il suo vertice nell’origine. Il lato iniziale è sull’asse x positivo, mentre l’altro lato o lato terminale è definito dalla misura dal lato iniziale in radianti, gradi o giri. Con angoli positivi che rappresentano rotazioni verso l’asse y positivo e angoli negativi che rappresentano rotazioni verso l’asse y negativo. Quando le coordinate cartesiane sono rappresentate dalla posizione standard, definita dall’asse x verso destra e dall’asse y verso l’alto, le rotazioni positive sono in senso antiorario e quelle negative in senso orario.
In molti contesti, un angolo di -θ è effettivamente equivalente a un angolo di “un giro completo meno θ”. Per esempio, un orientamento rappresentato come -45° è effettivamente equivalente a un orientamento rappresentato come 360° – 45° o 315°. Anche se la posizione finale è la stessa, una rotazione fisica (movimento) di -45° non è la stessa di una rotazione di 315° (per esempio, la rotazione di una persona che tiene una scopa appoggiata su un pavimento polveroso lascerebbe tracce visivamente diverse di regioni spazzate sul pavimento).
Nella geometria tridimensionale, “orario” e “antiorario” non hanno un significato assoluto, quindi la direzione degli angoli positivi e negativi deve essere definita rispetto a qualche riferimento, che è tipicamente un vettore passante per il vertice dell’angolo e perpendicolare al piano in cui si trovano i raggi dell’angolo.
In navigazione, i cuscinetti o azimut sono misurati rispetto al nord. Per convenzione, visti dall’alto, gli angoli di rilevamento sono positivi in senso orario, quindi un rilevamento di 45° corrisponde a un orientamento nord-est. I cuscinetti negativi non sono usati in navigazione, quindi un orientamento nord-ovest corrisponde a un rilevamento di 315°.
Modi alternativi di misurare la dimensione di un angoloModifica
Ci sono diverse alternative alla misurazione della dimensione di un angolo tramite l’angolo di rotazione.Il grado di un pendio, o pendenza è uguale alla tangente dell’angolo, o talvolta (raramente) al seno. Un gradiente è spesso espresso in percentuale. Per valori molto piccoli (meno del 5%), il grado di una pendenza è approssimativamente la misura dell’angolo in radianti.
In geometria razionale la distanza tra due linee è definita come il quadrato del seno dell’angolo tra le linee. Poiché il seno di un angolo e il seno del suo angolo supplementare sono uguali, qualsiasi angolo di rotazione che mappa una delle linee nell’altra porta allo stesso valore per la distanza tra le linee.
Approssimazioni astronomicheModifica
Gli astronomi misurano la separazione angolare degli oggetti in gradi dal loro punto di osservazione.
- 0,5° è circa la larghezza del sole o della luna.
- 1° è circa la larghezza di un mignolo alla lunghezza di un braccio.
- 10° è approssimativamente la larghezza di un pugno chiuso alla lunghezza del braccio.
- 20° è approssimativamente la larghezza di un’apertura della mano alla lunghezza del braccio.
Queste misure dipendono chiaramente dal singolo soggetto, e quanto sopra dovrebbe essere trattato solo come approssimazione di regola empirica.