Qu’est-ce qu’une relation inverse?
Une relation inverse est une relation qui est l’inverse d’une autre ou une relation dans laquelle lorsqu’un facteur variable augmente, un autre diminue. Le terme anglais inverse est dérivé d’un mot latin qui signifie « retourner » ; ou opposé d’une certaine manière. C’est le type de relation qui apparaît dans de nombreuses disciplines, notamment les mathématiques, l’économie et la finance. Quelques exemples tirés de chacun de ces domaines illustreront comment les relations inverses se produisent et fonctionnent. Commençons par les mathématiques.
Exemples de relations inverses
Tous les exemples de relations inverses que l’on est susceptible de rencontrer impliquent l’inversion ou l’opposé d’une association à laquelle on pourrait s’attendre. Ils impliquent un lien entre deux variables, où soit (i) les variables dépendantes et indépendantes échangent leurs rôles, c’est-à-dire que la variable dépendante devient la variable indépendante et vice versa ; soit la variable dépendante diminue (augmente) lorsque la variable indépendante augmente (diminue).
Relations inverses en mathématiques
En mathématiques, nous rencontrons souvent des paires de variables qui sont liées d’une manière ou d’une autre. Un ensemble de telles variables peut apparaître comme suit : {(-5, -6) (-3, -2) (0, 4) (2, 8)}, où les valeurs qui apparaissent en premier représentent une variable et les valeurs en deuxième position représentent une autre variable. Dans de nombreux cas, les valeurs représentant la première variable peuvent être décrites comme les valeurs x ; celles représentant la seconde variable, comme les valeurs y. Le lien entre les deux variables peut dépendre d’une relation de cause à effet ou elles peuvent avoir été appariées au hasard. Quoi qu’il en soit, du fait de leur appariement, les valeurs x et y de chaque paire, et par extension, les deux variables qu’elles représentent, sont maintenant en relation. Cette relation peut être décrite par une règle qui prend les valeurs de la première variable (valeurs x) et nous indique les valeurs correspondantes de la seconde variable (valeurs y). Tout aussi légitimement, la relation peut être décrite par une règle qui prend les valeurs de la seconde variable (valeurs y) et nous indique les valeurs correspondantes de la première variable (valeurs x). De telles règles en mathématiques sont appelées fonctions.
Une fonction mathématique est simplement une règle qui décrit la relation entre des paires ordonnées, allant soit des valeurs x aux valeurs y, auquel cas on écrit y = f(x), soit des valeurs y aux valeurs x et on écrit x = f(y) ou y = f-1(x). L’ensemble des valeurs de la variable entre parenthèses est appelé le domaine, tandis que l’ensemble des valeurs de l’autre variable est appelé l’étendue. Ainsi, dans y = f(x), les valeurs de x constituent le domaine, tandis que les valeurs de y constituent l’intervalle. Parfois, une fonction est décrite comme une machine qui prend des entrées – les valeurs x – et fournit des sorties – les valeurs y.
Comme toute règle, son résultat doit être sans ambiguïté. C’est une mauvaise règle qui donne un résultat aujourd’hui et un autre demain. En conséquence, dans f = (x), toute valeur x doit donner lieu à une seule valeur y et toutes les valeurs x doivent avoir un résultat. Par conséquent, pour tout ensemble de paires ordonnées, il y aura deux règles, l’une étant l’inverse de l’autre, c’est-à-dire que la deuxième règle aurait décrit une fonction qui est l’inverse de la première règle. Et la deuxième fonction porterait une relation inverse à la première fonction.
Quand l’une monte, l’autre descend
Cependant, une relation inverse peut aussi exister entre les variables x et y plutôt que les fonctions. Dans ce cas, une relation inverse est le contraire d’une relation directe, où dans y = f(x), y augmente lorsque x augmente ou dans x = f(y), x augmente lorsque y augmente. Dans une relation inverse, donnée par y = f(x), y diminuerait lorsque x augmente.
Ces relations peuvent être illustrées graphiquement.
Relations inverses en économie
Les courbes de demande et d’offre sont représentées ci-dessous.
Il existe de nombreux cas de relations inverses en économie. La plus fréquemment rencontrée est la relation prix-demande, où la quantité demandée diminue (augmente) lorsque le prix augmente (diminue). Cette relation est largement connue comme la loi de la demande.
La courbe de la demande montre la quantité demandée d’un bien à différents niveaux de prix. Notez que la demande n’est pas la même chose que la quantité demandée. La demande d’un bien dépend de nombreux facteurs : le prix du bien, le prix des autres biens, le niveau de revenu et de richesse, les préférences individuelles, etc. La courbe de demande ci-dessus montre les quantités du bien demandées à différents niveaux de prix, lorsque les autres facteurs sont maintenus constants.
La relation inverse entre le prix de quelque chose et la quantité demandée de ce bien dépend de deux influences. Premièrement, la réduction du prix d’un produit signifie que l’on peut en acheter davantage pour la même dépense qu’auparavant. Deuxièmement, la baisse du prix d’un produit augmente le revenu réel, car il faut moins d’argent pour acheter le produit, même si le revenu monétaire reste le même. L’augmentation du revenu réel signifie qu’une plus grande quantité de tous les biens, y compris celui dont le prix a été réduit, peut être achetée.
En revanche, la courbe d’offre illustre une relation directe. Lorsque les prix augmentent, les fournisseurs existants vont essayer de vendre davantage, tandis que les nouveaux fournisseurs seront encouragés à entrer sur le marché. Par conséquent, la quantité fournie du produit augmentera à mesure que les prix augmentent.
Relations inverses en finance
Le lien entre les taux d’intérêt et les prix des obligations est une relation inverse. Le prix des obligations baisse lorsque les taux d’intérêt augmentent et augmente lorsque les taux d’intérêt baissent. Cela se produit parce qu’une obligation est un instrument financier à revenu fixe. Lorsqu’une obligation est émise, sa valeur nominale, qui correspond à la somme d’argent, généralement 1 000 $, que l’obligation a été émise pour lever, est fixée. En outre, l’obligation est assortie d’un taux d’intérêt nominal, qui détermine le paiement du coupon fixe. Ainsi, un taux de coupon de 10 % signifie que l’obligation de 1 000 $ paiera 100 $ par an.
Si une obligation de 1 000 $ présentant un risque similaire est émise et que son taux de coupon est de 12 %, les obligations de 10 % perdront de la valeur, car elles ne paient que 100 $ par an, alors que les nouvelles obligations paient 120 $. Le prix des anciennes obligations chutera jusqu’à ce que leur paiement de 100 $ par an soit égal à 12 %, c’est-à-dire 100 $/0,12 = 833,33 $. Cette relation inverse entre le prix des obligations et les taux d’intérêt peut être représentée sur un graphique, comme ci-dessus.
Un dernier mot
Ne perdez pas de vue que le terme de relation inverse est utilisé pour décrire deux types d’association. En mathématiques, il fait référence à une fonction qui utilise l’étendue d’une autre fonction comme domaine. La seconde fonction est alors l’inverse de la première. Il peut également faire référence à l’association entre deux variables, où la valeur d’une variable diminue (augmente) lorsque la valeur de l’autre variable augmente (diminue).