Avant d’aborder les propriétés des logarithmes, discutons brièvement de la relation entre logarithmes et exposants. Le logarithme d’un nombre est défini comme t la puissance ou l’indice auquel il faut élever une base donnée pour obtenir le nombre.
Sachant que, ax = M ; où a et M sont supérieurs à zéro et a ≠ 1, alors, nous pouvons représenter symboliquement ceci sous forme logarithmique comme :
log a M = x
Exemples :
- 2-3= 1/8 ⇔ log 2 (1/8) = -3
- 10-2= 0.01 ⇔ log 1001 = -2
- 26= 64 ⇔ log 2 64 = 6
- 32= 9 ⇔ log 3 9 = 2
- 54= 625 ⇔ log 5 625 = 4
- 70= 1 ⇔ log 7 1 = 0
- 3- 4= 1/34 = 1/81 ⇔ log 3 1/81 = -4
- 10-2= 1/100 = 0.01 ⇔ log 1001 = -2
Propriétés logarithmiques
Les propriétés et règles logarithmiques sont utiles car elles nous permettent de développer, condenser ou résoudre des équations logarithmiques. C’est pour ces raisons.
Dans la plupart des cas, on vous dit de mémoriser les règles lors de la résolution de problèmes logarithmiques, mais comment ces règles sont-elles dérivées.
Dans cet article, nous allons examiner les propriétés et les règles des logarithmes dérivés à l’aide des lois des exposants.
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Propriété du produit des logarithmes
La règle du produit stipule que la multiplication de deux logarithmes ou plus ayant des bases communes est égale à l’addition des logarithmes individuels, c’est-à-dire .e.
log a (MN) = log a M + log a N
Preuve
- Disons que x = log aM et y = log a
- Convertissons chacune de ces équations sous la forme exponentielle.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Multiplier les termes exponentiels (M & N) :
ax * ay = MN
- Puisque la base est commune, donc, additionner les exposants :
a x + y = MN
- Prise de logarithme avec la base ‘a’ des deux côtés.
log a (a x + y) = log a (MN)
- Appliquer la règle de puissance d’un logarithme.
log a Mn ⇒ n log a M
(x + y) log a a = log a (MN)
(x + y) = log a (MN)
- Maintenant, substituer les valeurs de x et y dans l’équation que nous obtenons ci-dessus.
log a M + log a N = log a (MN)
Hence, prouvé
log a (MN) = log a M + log a N
Exemples :
- log50 + log 2 = log100 = 2
- log 2 (4 x 8) = log 2 (22 x 23) =5
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Propriété du quotient des logarithmes
Cette règle stipule que le rapport de deux logarithmes ayant les mêmes bases est égal à la différence des logarithmes c’est-à-dire.Soit
log a (M/N) = log a M – log a N
Preuve
- Disons que x = log aM et y = log a
- Convertissons chacune de ces équations sous la forme exponentielle.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Diviser les termes exponentiels (M & N) :
ax / ay = M/N
- Puisque la base est commune, donc, soustraire les exposants :
a x – y = M/N
- Prendre le logarithme avec la base ‘a’ des deux côtés.
log a (a x – y) = log a (M/N)
- Appliquer la règle de puissance du logarithme sur les deux côtés.
log a Mn ⇒ n log a M
(x – y) log a a = log a (M/N)
(x – y) = log a (M/N)
- Maintenant, substituer les valeurs de x et y dans l’équation que nous obtenons ci-dessus.
log a M – log a N = log a (M/N)
Hence, prouvé
log a (M/N) = log a M – log a N
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Propriété de puissance des logarithmes
Selon la propriété de puissance du logarithme, le logarithme d’un nombre ‘M’ avec l’exposant ‘n’ est égal au produit de l’exposant avec le logarithme d’un nombre (sans exposant) c’est-à-dire.e.
log a M n = n log a M
Preuve
- Let,
x = log a M
- Réécrire comme une équation exponentielle.
a x = M
- Prendre la puissance ‘n’ des deux côtés de l’équation.
(a x) n = M n
⇒ a xn = M n
- Prendre le logarithme des deux côtés de l’équation avec la base a.
log a a xn = log a M n
- log a a xn = log a M n ⇒ xn log a a = log a M n ⇒ xn = log a M n
- Maintenant, substituez les valeurs de x et y dans l’équation que nous obtenons ci-dessus et simplifiez.
Nous savons,
x = log a M
Donc,
xn = log a M n ⇒ n log a M = log a M n
Hence, prouvé
log a M n = n log a M
Exemples :
log1003 = 3 log100 = 3 x 2 = 6
Propriété de changement de base des logarithmes
Selon la propriété de changement de base du logarithme, on peut réécrire un logarithme donné comme le rapport de deux logarithmes avec une nouvelle base quelconque. Il se donne comme:
log a M = log b M/ log b N
ou
log a M = log b M × log N b
Sa preuve peut être faite en utilisant la propriété de un à un et la règle des puissances pour les logarithmes.
Preuve
- Exprimer chaque logarithme sous forme exponentielle en laissant;
Let,
x = log N M
- Convertir sous forme exponentielle,
M = N x
- Appliquer la propriété de un à un.
log b N x = log b M
- Appliquer la règle de la puissance.
x log b N = log b M
- Isoler x.
x = log b M / log b N
- Substituer la valeur de x.
log a M = log b M / log b N
ou on peut l’écrire comme,
log a M = log b M × log a b
Hence, prouvé.
Autres propriétés des logarithmes :
- Le logarithme de 1 à toute base finie non nulle est nul.
Preuve:
log a 1 = 0⟹ a 0=1
- Le logarithme de tout nombre positif à même base est égal à 1.
Preuve:
log a a=1 ⟹ a1= a
Exemple:
log 5 15 = log 15/log 5
Questions pratiques
1. Exprimez les logarithmes suivants en une seule expression
a. log 5 (x + 2) + log 5 (x – 2)
b. 2log x – log (x -1)
c. 3log 2 (x) + log 2 (y – 2) – 2logs a (z)
d. 4 log b (x + 2) – 3log b (x – 5)
e. 2log a (y) + 0,5log a (x + 4)
f. 2ln 8 + 5ln x
2. Développez les logarithmes suivants
a. log 2 (4xy5)
b. log(xy/z)
c. log 5 (ab)1/2
d. log 4 (2x)2
e. log 6 (ab)4
3. Résoudre x dans log (x – 2) – log (2x – 3) = log 2
4. Écrire le logarithme équivalent de log 2 x8.
5. Résolvez x dans chacune des équations logarithmiques suivantes
a. log 2x = 3
b. log x8 = 3
c. log 3x = 1
d. log3 = 2
e. log4 = 0
f. log (1/x + 1) = 2
g. log x0,0001 = 4
6. Simplifier log a ay
7. Écrivez log b(2x + 1) = 3 sous forme exponentielle.
8. Résolvez les logarithmes suivants sans calculatrice :
a. log 9 3
b. log 10000
c. ln e7
d. ln 1
e. ln e-3
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