« Travail = force × distance » est un principe standard de la physique qui apparaît également dans tous les manuels de calcul standard sous la forme de l’intégrale 
. Malheureusement, les manuels standard ne vous disent jamais pourquoi le travail est la force multipliée par la distance. Le livre Stewart’s Calculus, par exemple, comporte une section entière sur le « travail » dans le chapitre sur les « applications de l’intégration ». Des dizaines d’exercices s’empilent où l’on nous demande de calculer le « travail » impliqué dans tel ou tel scénario physique. On attend de nous que nous entrions consciencieusement des chiffres dans des formules et que nous en sortions d’autres comme des robots obéissants, mais pourquoi ? Quel est l’intérêt de tous ces chiffres ? Pourquoi voudrait-on calculer le « travail » ainsi défini, et qu’est-ce que cela nous apprend vraiment ? Aucune justification n’est donnée. Il s’agit simplement de la « définition » du travail, et on ne peut pas « prouver une définition », selon le raisonnement. Ainsi, le simple fait qu’une certaine quantité soit définie est considéré comme une motivation suffisante pour la calculer dans un grand nombre d’instances. Vraisemblablement, l’étudiant doit en déduire que ce sens technique du mot « travail » est censé avoir une sorte de relation avec le sens quotidien du mot, qui semble aussi vaguement applicable dans les exemples, car ils impliquent généralement le déplacement mécanique de choses. Cependant, la raison pour laquelle il devrait s’agir de « force multipliée par la distance » au lieu de, disons, « force multipliée par le temps » ou « force au carré multipliée par la distance » ou autre n’est pas claire. Par ailleurs, l’unité de « travail » est le joule, qui est considéré ailleurs dans le livre comme une unité d’énergie. Il semble donc que le « travail » soit lié à (ou est ?) l’énergie ? Mais ce lien mystérieux n’est pas expliqué. Comme nous le voyons, l’étudiant se retrouvera avec plus de questions que de réponses dès qu’il tentera d’aller un tant soit peu sous la surface. Le message est clair : ce n’est pas un endroit pour réfléchir ; ce livre consiste à brancher des chiffres dans des formules comme un singe de cirque faisant des tours pour une banane.
Dans les mathématiques intellectuelles, nous ne supportons pas ce genre d’absurdités. Si nous devons parler de « travail », nous n’allons pas l’introduire par décret autoritaire (« voilà l’équation, maintenant allez y brancher des chiffres ! »). Nous allons plutôt vous montrer comment vous pouvez vous-même arriver à la notion de travail par un raisonnement naturel, en utilisant votre propre intuition et compréhension de la physique. Voici un extrait de mon manuel de calcul montrant comment cela peut être fait.
Un objet de masse 
à une hauteur pas trop grande 
au-dessus de la surface de la terre a une énergie potentielle de 
. Cela signifie que nous pourrions, potentiellement, lui faire faire autant de travail pour nous. On peut penser par exemple à une roue hydraulique actionnée par une chute d’eau : ce dispositif tire parti de l’énergie potentielle stockée dans l’eau en raison de son altitude et l’exploite à d’autres fins. En pensant aux roues hydrauliques, il est facile de comprendre pourquoi l’énergie potentielle est proportionnelle à la masse et à la hauteur. En effet, si la hauteur est double, vous pouvez faire passer l’eau par deux fois plus de roues au cours de sa descente, ce qui vous permet d’obtenir deux fois plus de travail. Et si la masse est double, vous pouvez la diviser en deux et faire passer chaque partie par les roues à eau séparément, ce qui montre clairement que vous obtenez deux fois plus de travail dans ce cas également. Par le même argument, on obtient la relation générale travail = force × distance qui peut être considérée comme la définition formelle du travail, comme ci-dessus.
L’énergie potentielle est l’énergie en vertu de la position ; l’énergie cinétique est l’énergie en vertu de la vitesse. L’eau peut entraîner une roue hydraulique non seulement en tombant d’une certaine hauteur (énergie potentielle), mais aussi en se précipitant dans un cours d’eau à une certaine vitesse (énergie cinétique). Je vais maintenant vous prouver que tout comme l’énergie potentielle est mesurée par , l’énergie cinétique est mesurée par 
. Je tiens d’abord à préciser que l’énergie cinétique est un « travail stocké ». Imaginez que vous poussez un wagon le long d’une voie ferrée. Lorsque vous avez fini de pousser et que vous laissez partir le wagon, tout le travail que vous avez fourni est maintenant « stocké » dans le wagon sous forme d’énergie cinétique. Nous pouvons la restituer, par exemple grâce à notre méthode prototype des roues à eau, que nous pourrions faire tourner au fur et à mesure que le wagon les heurte sur son chemin. L’expérience montre qu’il faut la même quantité d’effort pour arrêter le wagon que pour le mettre en mouvement, il est donc clair que la quantité de travail stockée dans le wagon est la même que celle que vous y mettez.
Lorsque vous poussez le wagon pour le mettre en mouvement, vous appliquez une certaine force sur une certaine distance. Le produit des deux est le travail que vous effectuez, nous l’avons vu plus haut. C’est donc une mesure de l’énergie cinétique, mais pas une très belle mesure. L’énergie cinétique est clairement intrinsèque au wagon en mouvement, il est donc maladroit de la caractériser en fonction de l’action de l’ouvrier qui l’a mis en mouvement et de la longueur de son élan. Nous préférons de loin l’exprimer en termes de masse et de vitesse du wagon. Mais cela est facile à faire, car nous savons que force = masse × accélération, distance = vitesse moyenne × temps. Par « distance », on entend ici la longueur de l’élan que vous avez effectué avant de lâcher le wagon, et par « temps », le temps qu’il vous a fallu pour le faire. Disons que vous poussez avec la même intensité tout au long de la course, de sorte que la force, et donc l’accélération, est constante.
Exercice. Concluez-en que l’énergie cinétique est .
Les deux formes d’énergie que nous avons étudiées sont clairement interchangeables : lorsqu’un objet tombe, il » troque » de l’énergie potentielle contre de l’énergie cinétique, et inversement lorsque sa vitesse est dirigée vers le haut. Au moyen de quelques rampes, nous avons pu transformer une chute d’eau en un cours d’eau et inversement, et nous aimerions bien savoir ce qui est le mieux pour entraîner des roues hydrauliques. Mais il s’avère que c’est tout de même le cas. L’économie de la nature est telle que le taux d’échange dans ce genre de transactions est de un pour un. L’énergie est conservée. Cela concorde avec l’expérience mais on peut aussi le prouver formellement.
Exercice. Prouvez, en prenant sa dérivée temporelle, que l’énergie totale 
est constante pour un objet en chute libre.
Une autre façon utile d’établir ce genre de résultat est de prouver que s’il ne tenait pas, on pourrait exploiter la divergence pour construire une machine à mouvement perpétuel qui pourrait créer de l’énergie à partir de rien, ce qui est connu pour être impossible ou du moins un point sur lequel nous serions très agréablement surpris d’avoir tort.
Exercice. Argumentez sur de telles bases que est constant.