1. On peut tracer un segment de droite joignant deux points quelconques.
2. Tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment en ligne droite.
3. Étant donné tout segment de ligne droite, on peut tracer un cercle ayant le segment comme rayon et un point d’extrémité comme centre.
4. Tous les angles droits sont congruents.
5. Si l’on trace deux lignes qui en croisent une troisième de telle sorte que la somme des angles intérieurs d’un côté soit inférieure à deux angles droits, alors les deux lignes doivent inévitablement se croiser de ce côté si on les prolonge suffisamment. Ce postulat est équivalent à ce que l’on appelle le postulat du parallèle.
Le cinquième postulat d’Euclide ne peut pas être prouvé comme un théorème, bien que cela ait été tenté par de nombreuses personnes. Euclide lui-même n’a utilisé que les quatre premiers postulats (« géométrie absolue ») pour les 28 premières propositions des Éléments, mais a été contraint d’invoquer le postulat parallèle pour la 29e. En 1823, Janos Bolyai et Nicolai Lobachevsky ont réalisé, indépendamment l’un de l’autre, qu’il était possible de créer des « géométries non euclidiennes » entièrement cohérentes dans lesquelles le postulat de parallélisme ne s’appliquait pas. (Gauss avait également découvert mais supprimé l’existence de géométries non euclidiennes.)