Conversion des coordonnées géographiques

Une conversion de système de coordonnées est une conversion d’un système de coordonnées à un autre, les deux systèmes de coordonnées étant basés sur le même datum géodésique. Les tâches de conversion courantes comprennent la conversion entre les coordonnées géodésiques et les coordonnées ECEF et la conversion d’un type de projection cartographique à un autre.

Des coordonnées géodésiques aux coordonnées ECEFEdit

Coordonnées géodésiques (latitude ϕ {\displaystyle \ \phi }).

, longitude λ {\displaystyle \ \lambda }

, hauteur h {\displaystyle h}

) peuvent être converties en coordonnées ECEF à l’aide de l’équation suivante : X = ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ cos λ Y = ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ sin λ Z = ( b 2 a 2 N ( ϕ ) + h ) sin ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\Y&=\gauche(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}

où

N ( ϕ ) = a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ = a 1 – e 2 sin 2 ϕ , {\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }},}

et a {\displaystyle a}

et b {\displaystyle b}

sont respectivement le rayon équatorial (demi-grand axe) et le rayon polaire (demi-petit axe). e 2 = 1 – b 2 a 2 {\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}

est le carré de la première excentricité numérique de l’ellipsoïde. Le rayon de courbure vertical premier N ( ϕ ) {\displaystyle \,N(\phi )}

est la distance entre la surface et l’axe Z le long de la normale à l’ellipsoïde (voir « Rayon de courbure sur la Terre »).

L’équation suivante vaut pour la longitude de la même manière que dans le système de coordonnées géocentriques:

X cos λ – Y sin λ = 0. {\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}

Et l’équation suivante est valable pour la latitude :

p cos ϕ – Z sin ϕ – e 2 N ( ϕ ) = 0 , {\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}

où p = X 2 + Y 2 {\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}

, comme le paramètre h {\displaystyle h}.

est éliminé en soustrayant p cos ϕ = N + h {\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}

et

Z sin ϕ = b 2 a 2 N + h . {\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}

L’orthogonalité des coordonnées est confirmée par différenciation :

( d X d Y d Z ) = ( – sin λ – sin ϕ cos λ cos ϕ cos λ cos λ – sin ϕ sin λ cos ϕ sin λ 0 cos ϕ sin ϕ ). ( d E d N d U ) , ( d E d N d U ) = ( ( N ( ϕ ) + h ) cos ϕ 0 0 0 M ( ϕ ) + h 0 0 0 1 ) ( d λ d ϕ d h ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \0&\cos \phi &\sin \phi \\\\\\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}dE\dN\\\dU\end{pmatrix},\\{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &&&M(\phi )+h&&&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}

où

M ( ϕ ) = a ( 1 – e 2 ) ( 1 – e 2 sin 2 ϕ ) 3 2 {\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}

(voir aussi « Arc méridien sur l’ellipsoïde »).

Des coordonnées ECEF aux coordonnées géodésiquesEdit

La conversion des coordonnées ECEF en coordonnées géodésiques (telles que WGS84) est la même que celle de la géocentrique pour la longitude:

λ = arctan Y X {\displaystyle \lambda =\arctan {\frac {Y}{X}}}.

.

La conversion pour la latitude implique un calcul un peu compliqué et on sait qu’elle peut être résolue en utilisant plusieurs méthodes présentées comme ci-dessous. Elle est cependant sensible à une petite précision due à R n {\displaystyle Rn}.

et h {\displaystyle h}.

étant peut-être séparés de 106.

Méthode de Newton-RaphsonModification

L’équation irrationnelle de la latitude géodésique de Bowring suivante est efficace pour être résolue par la méthode d’itération de Newton-Raphson :

κ – 1 – e 2 a κ p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ 2 = 0 , {\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,

où κ = p Z tan ϕ . {\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi .}

La hauteur est calculée comme suit : h = e – 2 ( κ – 1 – κ 0 – 1 ) p 2 + Z 2 κ 2 , κ 0 = ( 1 – e 2 ) – 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}

L’itération peut être transformée en le calcul suivant :

κ i + 1 = c i + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 3 c i – p 2 = 1 + p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 3 c i – p 2 , {\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}},}

où c i = ( p 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 κ i 2 ) 3 2 a e 2 . {\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}.}

La constante κ 0 {\displaystyle \,\kappa _{0}}.

est une bonne valeur de départ pour l’itération lorsque h ≈ 0 {\displaystyle h\approx 0}

. Bowring a montré que l’unique itération produit une solution suffisamment précise. Il a utilisé des fonctions trigonométriques supplémentaires dans sa formulation originale.

Solution de FerrariEdit

L’équation quartique de κ {\displaystyle \kappa }

, dérivée de ce qui précède, peut être résolue par la solution de Ferrari pour donner : ζ = ( 1 – e 2 ) z 2 a 2 , ρ = 1 6 ( p 2 a 2 + ζ – e 4 ) , s = e 4 ζ p 2 4 ρ 3 a 2 , t = 1 + s + s ( s + 2 ) 3 , u = ρ ( t + 1 + 1 t ) , v = u 2 + e 4 ζ , w = e 2 u + v – ζ 2 v , κ = 1 + e 2 u + v + w 2 + w u + v . {\displaystyle{begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}+\zeta -e^{4}\right),\s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}},\\t&={\sqrt{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}\right),\v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\\\kappa&=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}

L’application de la solution de FerrariEdit

Un certain nombre de techniques et d’algorithmes sont disponibles mais le plus précis, selon Zhu, est la procédure suivante établie par Heikkinen, cité par Zhu. On suppose que les paramètres géodésiques {a , b , e } {\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}.

sont connues r = X 2 + Y 2 e ′ 2 = a 2 – b 2 b 2 F = 54 b 2 Z 2 G = r 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 – e 2 ( a 2 – b 2 ) c = e 4 F r 2 G 3 s = 1 + c + c 2 + 2 c 3 P = F 3 ( s + 1 + 1 s ) 2 G 2 Q = 1 + 2 e 4 P r 0 = – P e 2 r 1 + Q + 1 2 a 2 ( 1 + 1 Q ) – P ( 1 – e 2 ) Z 2 Q ( 1 + Q ) – 1 2 P r 2 U = ( r – e 2 r 0 ) 2 + Z 2 V = ( r – e 2 r 0 ) 2 + ( 1 – e 2 ) Z 2 z 0 = b 2 Z a V h = U ( 1 – b 2 a V ) ϕ = arctan λ = arctan2&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\e’^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\F&=54b^{2}Z^{2}\\G&=r^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\c&={\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\s&={\sqrt{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\P&={\frac {F}{3\left(s+1+{\frac {1}{s}}\right)^{2}G^{2}}}}&={\sqrt {1+2e^{4}P}_{0}&={\frac {1}^{4}}}Pe^{2}r}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}}{\left(1+{\frac {1}{Q}}{right)}}-{\frac {P^{2}r}{1}{1}{2}}{1}{Q}}{1}{2}r}{1}{2}r}{1}{1}{2}r}{1}{2}r}{1}{2}r}{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\U&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\V&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}\right)\\\phi &=Arctan \\\\\\Lambda &=Nom d’opérateur {arctan2} \end{aligned}}}

Note : arctan2 est la fonction tangente inverse à quatre quadrants.

Édition des séries de puissance

Pour un petit e2, la série de puissance

κ = ∑ i ≥ 0 α i e 2 i {\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}

commence par

α 0 = 1 ; α 1 = a Z 2 + p 2 ; α 2 = a Z 2 Z 2 + p 2 + 2 a 2 p 2 2 ( Z 2 + p 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}} ;\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}

Coordonnées géodésiques vers/depuis ENUEdit

Pour convertir des coordonnées géodésiques en coordonnées locales ENU, il faut procéder en deux étapes :

1. Convertir les coordonnées géodésiques en coordonnées ECEF
2. Convertir les coordonnées ECEF en coordonnées locales ENU

De ECEF à ENUEdit

Pour transformer les coordonnées ECEF en coordonnées locales, nous avons besoin d’un point de référence local, typiquement cela pourrait être l’emplacement d’un radar. Si un radar est situé à {X r , Y r , Z r } {\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}

et un avion à {X p , Y p , Z p } {\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}

alors le vecteur pointant du radar vers l’avion dans le cadre ENU est = {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}

Note: ϕ {\displaystyle \ \phi }

est la latitude géodésique. Une version antérieure de cette page montrait l’utilisation de la latitude géocentrique ( ϕ ′ {\displaystyle \ \phi ^{\prime }}.

). La latitude géocentrique n’est pas la direction ascendante appropriée pour le plan tangent local. Si la latitude géodésique d’origine est disponible, elle doit être utilisée, sinon, la relation entre la latitude géodésique et la latitude géocentrique dépend de l’altitude, et est capturée par : tan ϕ ′ = Z r X r 2 + Y r 2 = N ( ϕ ) ( 1 – f ) 2 + h N ( ϕ ) + h tan ϕ {\displaystyle \tan \phi ^{\prime }={\frac {Z_{r}}{\sqrt {X_{r}^{2}+Y_{r}^{2}}}}={\frac {N(\phi )(1-f)^{2}+h}{N(\phi )+h}\tan \phi }

Obtenir la latitude géodésique à partir des coordonnées géocentriques de cette relation nécessite une approche de solution itérative, sinon les coordonnées géodésiques peuvent être calculées via l’approche de la section ci-dessus intitulée  » De l’ECEF aux coordonnées géodésiques. »

La longitude géocentrique et la longitude géodésique ont la même valeur. Ceci est vrai pour la Terre et d’autres planètes de forme similaire parce que leurs lignes de latitude (parallèles) peuvent être considérées comme des cercles parfaits à beaucoup plus de degrés par rapport à leurs lignes de longitude (méridiens).

tan λ = Y r X r {\displaystyle \tan \lambda ={\frac {Y_{r}}{X_{r}}}}

Note : détermination non ambiguë de ϕ {\displaystyle \ \phi }

et de λ {\displaystyle \ \lambda }.

nécessite de savoir dans quel quadrant se trouvent les coordonnées.

De ENU à ECEFEdit

C’est juste l’inversion de la transformation ECEF à ENU donc

= + {\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}

Conversion across map projectionsEdit

La conversion des coordonnées et des positions cartographiques entre différentes projections cartographiques se référant au même datum peut être accomplie soit par des formules de traduction directe d’une projection à une autre, soit en convertissant d’abord d’une projection A {\displaystyle A}

à un système de coordonnées intermédiaire, tel que l’ECEF, puis en convertissant l’ECEF en projection B {\displaystyle B}.

. Les formules impliquées peuvent être complexes et dans certains cas, comme dans la conversion ECEF vers géodésique ci-dessus, la conversion n’a pas de solution à forme fermée et des méthodes approximatives doivent être utilisées. Des références telles que le DMA Technical Manual 8358.1 et le document USGS Map Projections : A Working Manual contiennent des formules pour la conversion des projections cartographiques. Il est courant d’utiliser des programmes informatiques pour effectuer les tâches de conversion des coordonnées, comme dans le cas du programme GEOTRANS soutenu par le DoD et la NGA.