Discusión
Aceleración por gravedad
¿Quieres ver cómo se acelera un objeto?
- Coge algo con la mano y déjalo caer. Cuando lo sueltas de la mano, su velocidad es cero. En el camino hacia abajo su velocidad aumenta. Cuanto más tiempo cae, más rápido se desplaza. Me suena a aceleración.
- Pero la aceleración es algo más que el aumento de la velocidad. Coge este mismo objeto y lánzalo verticalmente al aire. En el camino hacia arriba su velocidad disminuirá hasta que se detenga e invierta la dirección. La disminución de la velocidad también se considera aceleración.
- Pero la aceleración es algo más que un simple cambio de velocidad. Recoge tu objeto maltrecho y lánzalo por última vez. Esta vez lánzalo horizontalmente y observa cómo su velocidad horizontal se vuelve gradualmente más y más vertical. Puesto que la aceleración es el índice de cambio de la velocidad con el tiempo y la velocidad es una cantidad vectorial, este cambio de dirección también se considera aceleración.
- Consigue un trozo de papel y un lápiz. Sosténgalos a la misma altura sobre una superficie plana y déjelos caer simultáneamente. La aceleración del lápiz es notablemente mayor que la del trozo de papel, que revolotea y se desplaza en su caída.
- Repite el experimento, pero antes de empezar, enrolla el trozo de papel en la bola más apretada posible. Ahora, cuando el papel y el lápiz se suelten, debería ser obvio que sus aceleraciones son idénticas (o al menos más parecidas que antes).
En cada uno de estos ejemplos la aceleración era el resultado de la gravedad. Su objeto se aceleraba porque la gravedad tiraba de él hacia abajo. Incluso el objeto lanzado directamente hacia arriba está cayendo – y comienza a caer en el momento en que sale de tu mano. Si no fuera así, habría seguido alejándose de ti en línea recta. Esta es la aceleración debida a la gravedad.
¿Cuáles son los factores que afectan a esta aceleración debida a la gravedad? Si le preguntaras esto a una persona típica, lo más probable es que te dijera «el peso», con lo que en realidad quiere decir «la masa» (más adelante se hablará de esto). Es decir, los objetos pesados caen rápido y los ligeros, lento. Aunque esto puede parecer cierto a primera vista, no responde a mi pregunta original. «¿Cuáles son los factores que afectan a la aceleración debida a la gravedad?» La masa no afecta a la aceleración debida a la gravedad de forma medible. Ambas magnitudes son independientes entre sí. Los objetos ligeros se aceleran más lentamente que los pesados sólo cuando actúan fuerzas distintas de la gravedad. Cuando esto ocurre, un objeto puede estar cayendo, pero no está en caída libre. La caída libre se produce siempre que un objeto está sometido únicamente a la acción de la gravedad.
Intenta este experimento.
Algo más se interpone aquí – y esa cosa es la resistencia del aire (también conocida como resistencia aerodinámica). Si pudiéramos reducir de alguna manera esta resistencia tendríamos un verdadero experimento. No hay problema.
Nos estamos acercando a la esencia de este problema. Si de alguna manera pudiéramos eliminar por completo la resistencia del aire. La única manera de hacerlo es dejar caer los objetos en el vacío. Es posible hacerlo en el aula con una bomba de vacío y una columna de aire sellada. En esas condiciones, se puede demostrar que una moneda y una pluma se aceleran a la misma velocidad. (Antiguamente, en Gran Bretaña, se utilizaba una moneda llamada guinea, por lo que esta demostración se denomina a veces «guinea y pluma»). Una demostración más dramática se realizó en la superficie de la Luna, que es lo más parecido al vacío real que el ser humano puede experimentar en un futuro próximo. El astronauta David Scott lanzó un martillo de roca y una pluma de halcón al mismo tiempo durante la misión lunar Apolo 15 en 1971. De acuerdo con la teoría que voy a presentar, los dos objetos aterrizaron en la superficie lunar simultáneamente (o casi). Sólo un objeto en caída libre experimentará una aceleración pura debida a la gravedad.
La torre inclinada de Pisa
Saltemos un poco al pasado. En el mundo occidental anterior al siglo XVI, se asumía generalmente que la aceleración de un cuerpo en caída sería proporcional a su masa, es decir, se esperaba que un objeto de 10 kg se acelerara diez veces más rápido que un objeto de 1 kg. El antiguo filósofo griego Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) incluyó esta regla en el que quizá fue el primer libro de mecánica. Fue una obra inmensamente popular entre los académicos y a lo largo de los siglos adquirió una cierta devoción que rozaba lo religioso. No fue hasta que llegó el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) que alguien puso a prueba las teorías de Aristóteles. A diferencia de todos los demás hasta ese momento, Galileo trató de verificar sus propias teorías mediante la experimentación y la observación cuidadosa. A continuación, combinó los resultados de estos experimentos con el análisis matemático en un método que era totalmente nuevo en aquella época, pero que ahora se reconoce generalmente como la forma de hacer ciencia. Por la invención de este método, Galileo es considerado generalmente como el primer científico del mundo.
En una historia que puede ser apócrifa, Galileo (o un ayudante, más bien) dejó caer dos objetos de masa desigual desde la Torre Inclinada de Pisa. En contra de las enseñanzas de Aristóteles, los dos objetos cayeron al suelo simultáneamente (o casi). Dada la velocidad a la que se produciría tal caída, es dudoso que Galileo pudiera haber extraído mucha información de este experimento. La mayor parte de sus observaciones sobre la caída de cuerpos eran en realidad objetos redondos que rodaban por rampas. Esto ralentizó las cosas lo suficiente como para poder medir los intervalos de tiempo con relojes de agua y su propio pulso (los cronómetros y las fotocélulas aún no se habían inventado). Esto lo repitió «un centenar de veces» hasta que consiguió «una precisión tal que la desviación entre dos observaciones nunca superaba la décima parte de un pulso»
Con resultados así, se podría pensar que las universidades de Europa habrían concedido a Galileo su más alto honor, pero no fue así. Los profesores de la época estaban horrorizados por los métodos comparativamente vulgares de Galileo, llegando incluso a negarse a reconocer lo que cualquiera podía ver con sus propios ojos. En una medida que cualquier persona pensante encontraría ahora ridícula, el método de observación controlada de Galileo fue considerado inferior a la razón pura. Imagínese. Yo podía decir que el cielo era verde y, siempre que presentara un argumento mejor que el de los demás, sería aceptado como un hecho contrario a la observación de casi todas las personas videntes del planeta.
Galileo calificó su método de «nuevo» y escribió un libro titulado Discursos sobre dos nuevas ciencias en el que utilizaba la combinación de la observación experimental y el razonamiento matemático para explicar cosas como el movimiento unidimensional con aceleración constante, la aceleración debida a la gravedad, el comportamiento de los proyectiles, la velocidad de la luz, la naturaleza del infinito, la física de la música y la resistencia de los materiales. Sus conclusiones sobre la aceleración debida a la gravedad fueron que…
la variación de la velocidad en el aire entre las bolas de oro, plomo, cobre, pórfido y otros materiales pesados es tan pequeña que en una caída de 100 codos una bola de oro seguramente no superaría a una de cobre ni por cuatro dedos. Habiendo observado esto, llegué a la conclusión de que en un medio totalmente desprovisto de resistencia todos los cuerpos caerían con la misma velocidad.
Pues creo que nadie cree que el nado o el vuelo puedan realizarse de una manera más simple o fácil que la empleada instintivamente por los peces y las aves. Cuando, por tanto, observo que una piedra inicialmente en reposo cae desde una posición elevada y adquiere continuamente nuevos incrementos de velocidad, ¿por qué no he de creer que tales incrementos tienen lugar de una manera sumamente sencilla y bastante obvia para todo el mundo?
Dudo mucho que Aristóteles haya comprobado alguna vez mediante un experimento.
Galileo Galilei, 1638
A pesar de esta última cita, Galileo no era inmune a utilizar la razón como medio para validar su hipótesis. En esencia, su argumento era el siguiente. Imagina dos rocas, una grande y otra pequeña. Dado que su masa es desigual, se acelerarán a ritmos diferentes: la roca grande se acelerará más rápido que la pequeña. Ahora coloca la roca pequeña encima de la grande. ¿Qué ocurrirá? Según Aristóteles, la roca grande se alejará de la pequeña. ¿Y si invertimos el orden y colocamos la roca pequeña debajo de la grande? Parece que deberíamos razonar que dos objetos juntos deberían tener una menor aceleración. La roca pequeña se interpondría y frenaría a la grande. Pero dos objetos juntos son más pesados que cualquiera de ellos por sí mismo y por tanto también deberíamos razonar que tendrán una mayor aceleración. Esto es una contradicción.
Aquí hay otro problema de pensamiento. Tomemos dos objetos de igual masa. Según Aristóteles, deberían acelerar a la misma velocidad. Ahora átalos juntos con un trozo ligero de cuerda. Juntos, deberían tener el doble de su aceleración original. Pero, ¿cómo saben que esto es así? ¿Cómo saben los objetos inanimados que están conectados? Ampliemos el problema. ¿No es todo objeto pesado un mero conjunto de piezas más ligeras pegadas entre sí? ¿Cómo puede un conjunto de piezas ligeras, cada una de las cuales se mueve con una pequeña aceleración, acelerar repentinamente de forma rápida una vez unidas? Hemos arrinconado a Aristóteles. La aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa.
Galileo realizó multitud de mediciones relacionadas con la aceleración debida a la gravedad, pero ni una sola vez calculó su valor (o si lo hizo, nunca he visto que se informe de ello en ningún sitio). En su lugar, expuso sus conclusiones como un conjunto de proporciones y relaciones geométricas, muchas de ellas. Su descripción de la velocidad constante requería una definición, cuatro axiomas y seis teoremas. Todas estas relaciones pueden escribirse ahora como una única ecuación en notación moderna.
| v = | ∆s |
| ∆t |
Los símbolos algebraicos pueden contener tanta información como varias frases de texto, por eso se utilizan. Al contrario de lo que se piensa, las matemáticas hacen la vida más fácil.
ubicación, ubicación, ubicación
El valor generalmente aceptado para la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra y cerca de ella es…
g = 9.8 m/s2
o en unidades que no son del SI…
g = 35 kph/s = 22 mph/s = 32 pies/s2
Es útil memorizar este número (como ya lo han hecho millones de personas en todo el mundo), sin embargo, también hay que señalar que este número no es una constante. Aunque la masa no tiene ningún efecto sobre la aceleración debida a la gravedad, hay tres factores que sí lo tienen. Son la ubicación, la ubicación y la ubicación.
Todos los que están leyendo esto deben estar familiarizados con las imágenes de los astronautas saltando en la luna y deben saber que la gravedad allí es más débil que en la Tierra, aproximadamente una sexta parte o 1,6 m/s2. Por eso los astronautas pudieron saltar en la superficie con facilidad a pesar del peso de sus trajes espaciales. En cambio, la gravedad en Júpiter es más fuerte que en la Tierra: unas dos veces y media más fuerte o 25 m/s2. Los astronautas que atraviesan la parte superior de la espesa atmósfera de Júpiter se encontrarían con dificultades para mantenerse en pie dentro de su nave espacial.
En la Tierra, la gravedad varía con la latitud y la altitud (que se tratará en un capítulo posterior). La aceleración debida a la gravedad es mayor en los polos que en el ecuador y mayor a nivel del mar que en la cima del Monte Everest. También hay variaciones locales que dependen de la geología. El valor de 9,8 m/s2 -con sólo dos dígitos significativos- es cierto para todos los lugares de la superficie de la Tierra y se mantiene para altitudes de hasta +10 km (la altitud de los aviones comerciales) y profundidades de hasta -20 km (muy por debajo de las minas más profundas).
¿Cómo de loco estás por la precisión? Para la mayoría de las aplicaciones, el valor de 9,8 m/s2 es más que suficiente. Si tienes prisa, o no tienes acceso a una calculadora, o simplemente no necesitas ser tan preciso; redondear g en la Tierra a 10 m/s2 suele ser aceptable. En un examen de opción múltiple en el que no se permite el uso de calculadoras, esta suele ser la forma de proceder. Si necesita una mayor precisión, consulte una obra de referencia completa para encontrar el valor aceptado para su latitud y altitud.
Si eso no es suficiente, obtenga los instrumentos necesarios y mida el valor local con tantos dígitos significativos como pueda. Puede que aprendas algo interesante sobre tu ubicación. Una vez conocí a un geólogo cuyo trabajo consistía en medir g en una parte de África Occidental. Cuando le pregunté para quién trabajaba y por qué lo hacía, básicamente se negó a responder, aparte de decir que se podía inferir la estructura interior de la Tierra a partir de un mapa gravimétrico preparado con sus hallazgos. Sabiendo esto, uno podría entonces ser capaz de identificar estructuras donde se podrían encontrar minerales valiosos o petróleo.
Como todas las profesiones, los que se dedican a la medición de la gravedad (gravimetría) tienen su propia jerga especial. La unidad SI de aceleración es el metro por segundo al cuadrado. Si se divide en cien partes, se obtiene el centímetro por segundo al cuadrado, también conocido como gal, en honor a Galileo. Obsérvese que la palabra de la unidad está en minúsculas, pero el símbolo está en mayúsculas. El gal es un ejemplo de unidad gaussiana.
001 Gal = 1 cm/s2 = 0,01 m/s2
100 Gal = 100 cm/s2 = 1 m/s2.
Dividiendo un gal en mil partes se obtiene un miligal .
1 mGal = 0,001 Gal = 10-5 m/s2
Dado que la gravedad de la Tierra produce una aceleración en la superficie de unos 10 m/s2, un miligal es aproximadamente una millonésima parte del valor al que todos estamos acostumbrados.
1 g ≈ 10 m/s2 = 1.000 Gal = 1.000.000 mGal
Las mediciones con esta precisión pueden utilizarse para estudiar los cambios en la corteza terrestre, el nivel del mar, las corrientes oceánicas, el hielo polar y las aguas subterráneas. Si se va un poco más allá, es posible incluso medir los cambios en la distribución de la masa en la atmósfera. La gravedad es un tema de peso que se tratará con más detalle más adelante en este libro.
Gee, Wally
No confunda el fenómeno de la aceleración debida a la gravedad con la unidad de nombre similar. La cantidad g tiene un valor que depende del lugar y es aproximadamente…
g = 9,8 m/s2
en casi toda la superficie de la Tierra. La unidad g tiene el valor exacto de…
g = 9,80665 m/s2
por definición.
También utilizan símbolos ligeramente diferentes. La unidad definida utiliza la g romana o vertical mientras que el fenómeno natural que varía con la ubicación utiliza la g cursiva u oblicua. No confunda g con g.
Como se ha mencionado anteriormente, el valor de 9,8 m/s2 con sólo dos dígitos significativos es válido para la mayor parte de la superficie de la Tierra hasta la altitud de los aviones comerciales, por lo que se utiliza a lo largo de este libro. El valor de 9,80665 m/s2 con seis dígitos significativos es la llamada aceleración estándar debida a la gravedad o gravedad estándar. Es un valor que funciona para latitudes en torno a los 45° y altitudes no muy superiores al nivel del mar. Es aproximadamente el valor de la aceleración debida a la gravedad en París (Francia), la sede de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. La idea original era establecer un valor estándar de la gravedad para poder relacionar las unidades de masa, peso y presión, un conjunto de definiciones que ahora están obsoletas. La Oficina optó por hacer que esta definición sirviera para el lugar donde se encontraba su laboratorio. Las antiguas definiciones de las unidades desaparecieron, pero el valor de la gravedad estándar sigue vivo. Ahora es un valor acordado para hacer comparaciones. Es un valor cercano a lo que experimentamos en nuestra vida cotidiana, sólo que con demasiada precisión.
Algunos libros recomiendan una precisión de compromiso de 9,81 m/s2 con tres dígitos significativos para los cálculos, pero este libro no lo hace. En mi ubicación en la ciudad de Nueva York, la aceleración debida a la gravedad es de 9,80 m/s2. Redondear la gravedad estándar a 9,81 m/s2 es erróneo para mi ubicación. Lo mismo ocurre hacia el sur, hasta el ecuador, donde la gravedad es de 9,780 m/s2 a nivel del mar: 9,81 m/s2 es demasiado grande. Dirígete al norte de la ciudad de Nueva York y la gravedad se acerca cada vez más a 9,81 m/s2 hasta que finalmente lo es. Esto es estupendo para los canadienses del sur de Quebec, pero la gravedad sigue aumentando a medida que se avanza hacia el norte. En el Polo Norte (y también en el Polo Sur) la gravedad es la friolera de 9,832 m/s2. El valor 9,806 m/s2 está a medio camino entre estos dos extremos, así que es más o menos cierto decir que…
g = 9,806 ± 0,026 m/s2
Sin embargo, esto no es lo mismo que una media. Para ello, utilice este valor que alguien más derivó…
g = 9,798 m/s2
Aquí están mis sugerencias. Utilizar el valor de 9,8 m/s2 con dos dígitos significativos para los cálculos en la superficie de la Tierra, a menos que se especifique un valor de gravedad diferente. Esto parece razonable. Utilice el valor de 9,80665 m/s2 con seis dígitos significativos sólo cuando quiera convertir m/s2 a g. Esa es la ley.
La unidad g se utiliza a menudo para medir la aceleración de un marco de referencia. «¿Decir qué?» Este es un lenguaje técnico que se elaborará más adelante en otra sección de este libro, pero por ahora lo explicaré con ejemplos. Mientras escribo esto, estoy sentado frente a mi ordenador en el despacho de mi casa. La gravedad atrae mi cuerpo hacia la silla de la oficina, mis brazos hacia el escritorio y mis dedos hacia el teclado. Este es el mundo normal de 1 g (un gee) al que todos estamos acostumbrados. Podría llevarme un ordenador portátil a un parque de atracciones, subirme a una montaña rusa e intentar escribir allí. La gravedad funciona en una montaña rusa igual que en casa, pero como la montaña rusa acelera hacia arriba y hacia abajo (por no hablar de un lado a otro) se pierde la sensación de la gravedad terrestre normal. Habrá momentos en los que me sienta más pesado de lo normal y momentos en los que me sienta más ligero de lo normal. Estos corresponden a periodos de más de un g y de menos de un g. También podría llevarme el portátil en un viaje al espacio exterior. Tras un breve periodo de 2 o 3 g (dos o tres gees) acelerando lejos de la superficie de la Tierra, la mayoría de los viajes espaciales transcurren en condiciones de aparente ingravidez o 0 g (cero gee). Esto ocurre no porque la gravedad deje de funcionar (la gravedad tiene un alcance infinito y nunca es repulsiva), sino porque una nave espacial es un marco de referencia en aceleración. Como he dicho antes, este concepto se tratará más a fondo en una sección posterior de este libro.